三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)

三角函数早在初中阶段就被大家所熟知,本文从另一个角度来分析,给出三角函数本身所包含的新颖的结论

假设:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(1)

存在恒等式:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(2)

这正是经常看到的积化和差公式,以最简单的方式呈现出来,容易记住。

例如

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(3)

则容易得到:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(4)

归纳法得到余弦函数的一般公式:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(5)

假设x=y=(1/2)a:则

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(6)

假设x=y=(1/4)a:则

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(7)

因为余弦函数取值的正数范围是(0,1),现假设假设他是大于1的,则

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(8)

可得

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(9)

根据前面得到的结论可得到:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(10)

归纳法得到:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(11)

整理得:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(12)

进步推导分数情况下:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(13)

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(14)

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(15)

归纳得到:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(16)

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(17)

所以得到余弦函数的的一个重要等式:

三角函数最详细讲解(三角函数中所隐含的)(18)

上述正是三角函数中所隐含的欧拉公式。

上述是对余弦函数的推导,正弦函数同理,大家可以试着证明。

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