多元函数怎么判断连续性（通过实数集基数性质）

函数的有些性质，仅仅通过常规的初等变换，或者常规的微积分知识，很难去证伪或验真。近日读书，重拾以前的课本，很多东西都有些陌生了。有一道习题，思索良久方获解答，如下：

题目：不存在实数轴R上的连续函数f，使得f在无理数R\Q上是1-1映射，而在有理数Q上则不是1-1映射。

证明：反证法，假设存在R上的连续函数f，使得f在无理数R\Q上是1-1映射，而在有理数Q上则不是1-1映射。

根据假设，至少存在2个互异的有理数a，b，使得f(a)=f(b)。为了叙述方便，不妨令a<b。由于函数f在闭区间[a，b]上连续，所以f在[a，b]上存在最大值M和最小值m。

如果M=m，那么f在[a，b]上的值是常数，这与“f在R\Q上是1-1映射”的条件相矛盾。所以M和m，至少有一个值与f (a)不相等。不妨令M> f(a)，则至少存在1个点c∈(a，b)，使得f(c)=M。

记A=（f(a)，M），显然也有A=（f(b)，M），并且有下关系

由于有理数Q为可数集，基数小于实数集R，所以A\f(Q)不是空集。这个命题的验真，我们最后再补充，此处继续原题证明。即有如下关系

于是对任意s∈A\f(Q)，存在x1∈(a，c)，x2∈(c，b)，有如下关系

而这与“f在R\Q上是1-1映射”相矛盾，所以不存在这样的f。

补充，关于“A\f(Q)不是空集”的简略证明：

1. A与整个实数轴等势，基数相同（这是为什么呢？有兴趣的自己试试，不难证明）；

2. 一个点x，最多对应一个f(x），所以f(Q)最多与Q等势；

3. Q的基数小于R的基数；

4. 所以，集合A的基数大于f(Q)的基数，即A\ f(Q)不等于空集。