50个常用不定积分公式表（最常用的不定积分公式之一）

#创作挑战赛#

有一个不定积分公式，我们经常都会遇到。不过很多人记不住这个公式，因为它很少以公式的形式和大家见面。所以很多人在运用时，总是要重新推导一遍，增加了很多重复劳动，完全就是在浪费学习的宝贵时间。这里老黄帮你指出来，并且明确这个公式的形式，以后你再见到，直接运用就可以了。

下面从一道典型的例题说起：

求∫dx/(x^2-a^2) (a≠0).

注意这个不定积分的被积函数。它是一个分式函数，分母是一个平方差的形式，前面是积分变量的平方，后面是常数a的平方。规定a不等于0，下面的公式才有意义，否则就变成简单的幂的积分公式了。分子等于1，其实等于其它常数也是一样的，移到积分符号前面做系数就可以了。

解这个不定积分的步骤如下：

解：原积分=1/(2a)*∫(1/(x-a)-1/(x a))dx【如果第一步就看不懂，把括号内两个分式通分相减，就会明白了】

= 1/(2a)*(∫dx/(x-a)-∫dx/(x a))【运用了和的不定积分等于不定积分的和的线性法则，拆分成两个不等积分的和。两个不定积分都进行了凑微分，积分变量分别变成了u=x-a和t=x a，如果你把u,t代入，就是显性第一换元积分法的运用，不代入就是隐性第一换元积分法的运用】

=1/(2a)*(ln|x-a|-ln|x a|) C.【两个不定积分都应用了(负1次幂的不定积分公式，结果等于积分变量的绝对值的自然对数】

=1/(2a)*ln|(x-a)/(x a)| C.【运用了对数差等于真数商的对数】

观察这个结果，它前面的系数是被积函数分母中的常数a的两倍的倒数，后面是积分变量与常数差除以和的绝对值的自然对数。当然最后还要加常数C。因此可以得到这样的一个积分公式：

∫dx/(x^2-a^2)=1/(2a)*ln|(x-a)/(x a)| C. (1)

用语言描述就是：变量与常数的平方差的倒数的不定积分，等于2倍这个常数的倒数，乘以变量与常数差除以和，商的绝对值的自然常数，加C。通过这样的文字语言描述，可以加强记忆。常见的形式还有：

∫dx/(a^2-x^2)=1/(2a)*ln|(x a)/(x-a)| C. (2)即变量作减数时，就用和除以差。

下面我们来看一道应用：

例1：求∫x^3/(x^8-2)dx.

解：原积分=1/4*∫(dx^4)/(x^8-2)【凑微分后，积分变量变成x^4，分母就是x^4与根号2的平方差了，可以直接运用公式】

=1/4*∫(dx^4)/((x^4 √2)(x^4-√2))【来到这一步就可以直接运用公式了】

=1/(8√2)*ln|(x^4-√2)/(x^4 √2)| C.

这个公式还是可以拓展的。只要分母是两个关于积分变量的一次函数的积，就可以把公式拓展成下面的形式：

∫dx/((x a)(x b))=1/(b-a)*ln|(x a)/(x b)| C. (3)

这个公式很容易推导，请自行尝试，方面和推导上面的公式相似。下面解一道例题，会有一些变化，但万变不离其宗，只要适当转化形式，就可以了。

例2：求∫dx/((2-x)(x-3)). (|a| |b|≠0)【a,b都等于0，会使公式没有意义】

解：原积分=-∫dx/((x-2)(x-3))=-1/(-3 2)*ln|(x-2)/(x-3)| C=ln|(x-2)/(x-3)| C.

公式(1)和公式(2)其实都只是公式(3)的特例而已。所以真正的公式其实是公式(3).