条件极值和无条件极值怎么区分（极值的第一充分条件的变形）

今天老黄要证明一个定理：左右导数异号的点，是函数的极值点。而且左正右负是极大值点；左负右正是极小值点.

说它是极值的第一充分条件的变形，是因为它的形式看起来和极值的第一充分条件非常相似。极值的第一充分条件是通过一个点的邻域两侧的导数的符号性质来判断这个点是否极值点，是什么极值点的。而这个定理则是通过一个点的左右导数的符号性质来判断的。但其实它们之间并没有直接的联系。因为证明这个定理，主要还是依据极值的定义。老黄之所以把它们联系起来，只是为了记忆的方便罢了。

不过也可以认为，这个定理是第一充分条件的邻域缩小到，变成一种倾向时，仍成立的特例。

证明：若函数f在x0处有f ’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f的极大(小)值点.

注意，由于函数在x0的左右导数异号，所以左右导数肯定不相等。根据可导的充要条件可知，函数在x=x0是不可导的。因此，这个定理只对不可导但又同时存在左右导数的点有效。

证：“先证左正右负，是极大值点”的情形。根据右导数的定义公式，有：

若f ’(x0)=lim(x->x0^ )(f(x)-f(x0)/(x-x0))<0，则存在某U⁰ (x0,δ1)，使

当x∈U⁰ (x0,δ1)时，有(f(x)-f(x0))/(x-x0)<0，∴f(x)<f(x0).【这是极限的保号性的应用。即极限小于0时，必存在一个区间，使区间内的所有函数值都小于0。反之亦然。后面还会再运用一次极限的保号性】

又根据左导数的定义公式，有：

若f-’(x0)=lim(x->x0^ )((f(x0)-f(x))/(x0-x))>0，则存在某U⁰-(x0,δ2)，使

当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有(f(x0)-f(x))/(x0-x)>0，∴f(x)<f(x0).

取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时，有f(x)<f(x0)，【不知道有没有人疑惑这个min函数是怎么来的，有什么用。这是因为δ可以无穷小。取较小的那个，上面两个条件就同时成立了。】

∴x0为f的极大值点.

同理，若f在x0处有f ’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.

第二种情形，希望有学习钻研精神的小伙伴们，可以自己模仿第一种情形，动手探究一下。老黄自学高数，之所以能够把学过的都弄懂，就是因为老黄不放过任何一个探究的机会。