初二上册数学例题200道（初中生每天三道题）

第十一章　三角形

与三角形有关的角

一、（2015春•扬州校级期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．

（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB ∠NPC=90°-∠A．若将直线MN绕点P旋转，

（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；

（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

二、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明．

三、如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．

(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；

(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?

一、【解析】

解：（1）如图①∵在△ABC中，∠A ∠B ∠ACB=180°，且∠A=80°，

∴∠ABC ∠ACB=100°，

∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，

∴∠1 ∠2=（∠ABC ∠ACB）=×100°=50°，

∴∠BPC=180°﹣（∠1 ∠2）=180°﹣50°=130°．

（2）（ⅰ）如图③，由（1）知：∠BPC=180°﹣（∠1 ∠2）；

∵∠1 ∠2=（180°﹣∠A）=90°-∠A，

∴∠BPC=180°-（90°-∠A）=90° ∠A；

∴∠MPB ∠NPC=180°﹣∠BPC=180°-（90° ∠A）=90°-∠A．

（ⅱ）不成立，∠MPB﹣∠NPC=90°-∠A．

如图④，由（ⅰ）知：∠BPC=90° ∠A，

∴∠MPB﹣∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90° ∠A)=90°-∠A．

二、【解析】

解：∠D＝∠4-∠2＝(∠ACE-∠ABC)＝∠A，

∴ ∠D＝∠A．

三、【解析】

解： (1)∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠BAC．

又∵ ∠BAC＝180°-(∠B ∠C)，

∴ ∠1＝[180°-(∠B ∠C)]＝90°-(∠B ∠C)．

∴ ∠EDF＝∠B ∠1＝∠B 90°-(∠B ∠C)＝90° (∠B-∠C)．

又∵ EF⊥BC，∴ ∠EFD＝90°．

∴ ∠DEF＝90°-∠EDF＝90°-[90° (∠B-∠C)]＝(∠C-∠B)．

(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，(1)中探索所得的结论仍成立．

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