中考数学解决最值问题（中考数学之最值问题）

今天我们来说说“将军饮马”的数学模型，将军饮马问题在中考数学里边出现的频率相对来说是比较高的，各位同学要一定要注意。

“将军饮马”的由来

相传古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

唐朝诗人李欣的《古从军行》中有这么一句话：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这首诗里面也隐含着饮马图的基本模型。

“将军饮马”数学模型

模型一：“一线两点”型（一动两定型）

（1）异侧线段和的最小值问题（初一课本原型）

常考问题：两定点A和B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA PB值最小。

解题思路：根据两点之间线段最短，PA PB的最小值即为线段AB的长，连接AB交直线l于点P，点P即为所求。

【例1】如图，在Rt ABC中，∠B=90° , ∠BAC=60°,AB=2，BD是AC上的高，E是BC边的中点，F是BD上的一点，则AF EF的最小值为

【例2】如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边的中线，F是AD边的动点，E是AB边上一点，且AE＝２，则线段EF＋CF的最小值是　　　　　。

（２）同侧线段和最小值问题

常考问题：两定点A和B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA PB值最小。

解题思路：将两定点同侧问题转化为异侧问题，利用异侧线段和最小值问题方法解决即可。

【例3】如图在直角三角行ABC中AB=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，使PA PE的值最小，则这个最小值为 。

【例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB边上的一点，且AE=1，点Q为对角线AC上的动点，则三角形BEQ周长的最小值为 。

【例5】如图在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足三角形ABC的面积是矩形ABCD面积的 ，则点P到A、B两点之间距离之和PA PB的最小值为 .

（3）同侧线段差的最大值问题

常考问题：两定点A和B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得 值最大。

解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得 ，当A、B、P三点共线时， ，则 的最大值为线段AB的长，连接AB并延长，与直线l的交点即为P点。

【例6】(2019陕西14题3分)如图，在正方形ABCD中AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值是 。

【例7】如图，在 中，∠BAC＝90°，AB＝2，sinC= ，Ｅ为AC的中点，P为BC上一动点，则的最大值为　　　　。

（４）异侧线段差的最大值问题

常考问题：两定点A和B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得 值最大。

解题思路：解决异侧线段差的最大值问题时，可将异侧点转化为同侧问题，用同侧线段差最大值问题的解决方法解决。

【例9】如图，已知 三角形ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上一动点，则的最大值　　　　。

【例10】如图，正方形ABCD的边长为2， 三角形ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD外，在射线AC上有一动点P，当 的值最大时，AP＝　　　　。

以上内容就是今天要分享的“将军饮马"问题的一个模型，“将军饮马”大多数时候需要做对称的，同学们注意先看清楚题目的信息再下笔，分清楚它到底是属于哪一种模型，然后再下笔。

下次我们再分享“将军饮马”的其他模型。