围棋和数学有什么关系（围棋中的数学原理）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

据先秦典籍《世本》记载：「尧造围棋，丹朱善之」。作为距今约有四千年历史的古老游戏，究竟与数学有何缘分？本文尝试叙述之。

我们先了解一下关于图的基本概念。

无论是东方的星宿或是西方的星座，都是古人对于图论最初的应用。事实上，围棋本身极可能起源于上古天文学，围棋棋盘中心点称为天元，其余8个特殊位置的点称为星位（图2）。

图1

图2：标准围棋棋盘

所谓图(Graph)，是由一些离散的点以及连接这些点的边所构成。我们将图记为，其中表示顶点集(vertex set)，表示边集(edge set)。如果两顶点之间存在边，则说两者相邻，记为，此外连接两者的边也可以说与此两点相邻。

显然围棋棋盘是一个图，记为。我们把下棋落子的过程视为构造子图的过程，所谓子图即满足：

我们定义图的商运算：将子图整体替换为一个顶点 ，保持子图之外的顶点以及与不相邻的边不变，凡是与相邻的边，则将此边的端替换为.

图3：图的商运算。将「喜」变成「吉」。这个图源于剪纸。

我们说两个顶点是道路连通，即存在一系列首尾相接的边构成的道路，分别以此两点为首尾端点（如果道路首尾端点是同一个点，则称道路为圈）。连通的概念也可以推广到图与图之间。一个图可能是由若干个不连通的子图构成，如果把漫天的星座视为一个巨大的图，则每个连通的星座可以被称为连通分支。

图4：左右两个连通分支，左边分支是一条黄色的道路；右边分支是黄色的圈。

还有一个从图论诞生之初就产生的概念——度(degree)：与顶点相邻的边的个数，记为 见图5，例如白羊座(Aries)的星（星座中最亮的星）的度数是3；拥有最高度数点的星座是天秤座(Libra)和天蝎座(Scorpio)，它们的星的度数都是是4.

图5：黄道十二宫。

下文中我们会看到度与围棋中的气的概念息息相关。

围棋规则简介

先来简单介绍一下围棋的基本规则。

何为「气」？

在围棋中有一个核心概念，那就是气，也就是一块棋在棋盘上的生命值。

图6：白子提吃黑子的过程

如上图，一颗子在棋盘腹地（非边界）有上下左右四口气，当这四气被对方全部围堵住的话，棋子就会被对方提吃。特别地，当棋子在棋盘边线而非四角时，棋子有三气；当棋子在四角，棋子仅有两气。

围棋棋盘是一个简单平面图：棋盘中腹的点，度数为4，边界而非四角的点，度数为3，四角的点度数为2.

同属于一个连通分支的同色棋子，我们称为一块棋。

图7：黑棋共有4个分支，白棋只有一个。而且白棋马上就会被提吃，这个棋形在围棋术语中称为"滚打包收"。

前面我们介绍的是一个顶点的度，我们可以把这个概念推广到连通子图上，即考虑连通子图的度——

气的定义

记棋盘为图，考虑盘面上某块棋子构成连通子图，两者进行商运算，定义的气：

何为「目」？

目的定义

简单来说，某一方所围区域内的交叉点数即为目数。目是最终结算双方收益的基本单位。判断胜负的总目数分为两个部分: 盘面目数、对方死子数（已提和未提）。

中国规则是数子法：不考虑敌我双方的死子，只考虑占领的格点数目，包括活棋自身所占领的格点。数目法源自唐代，后东传日本。

从图论的角度讲，围棋比拼的是对弈双方构造有效连通分支的过程。连通分支对盘面起到了分割的作用。谁的有效连通分支长得好，散布得快，盘踞得广，谁就获胜。可见，围棋非常能体现生命占领空间、获取更多资源的特点。大数学家康威正是基于围棋而发明了元胞自动机——生命游戏。

接下来我们就可以讨论围棋中所涉及的数学问题了。

问题一：气数

一块棋的气数是由哪些因素决定？是否有计算公式？

子数

直觉上“棋子越多，气越多”，所以棋子数是一个重要的因素。

图7

如果棋子如上图线性排列，那么容易得到计算公式：

这个公式说明，除了首尾两颗棋的气数是3气，其余中间的棋皆贡献2气。这与有机化学中的饱和碳链连接氢原子个数公式一致，正因为碳原子最外层电子可以与四个氢原子的单电子配对，这和围棋一子有四气相同。

然而在真实的对弈中，棋形往往十分复杂，只贡献1气甚至是0气的棋子也是极有可能的。

愚形

“愚形”在围棋术语里是指效率低下的棋形。

图8：各种愚形。

• 拐

当棋子发生拐时（拐，围棋术语），拐角两子共用一口气，也就是说拐头给整块棋仅贡献了1气（见图9）。

图9

此时公式(1)应当修正

图10：此棋形叫做「扭羊头」，一旦陷入此情形，黑棋应当尽早放弃逃跑，因为越跑只会输的越多。

如图10，如果不考虑白棋，黑棋的气数可以通过公式(2)计算：

即黑棋拐了6次，计算结果和真实气数一致。正是因为拐本身提供的气的效率不高（2气/子），所以才会被对方不断索命。这正是扭羊头形成的原因。

应当注意的是，此公式适合计算同方向（顺时针或逆时针）拐与拐之间不是很近的情况（扭羊头是反向拐相间），否则气数会更少。

图11：连续的同向拐会导致若干子共用一口气。这个棋形称为「活眼」，简称「眼」，两个连通的活眼就是活棋，即对方绝对不能提吃的棋。

图12：活眼在棋盘边、角、中腹的三种形态。角眼有两子共用一口气；边眼三子共用一口气；腹眼四子共用一口气。

• 丁四

图13：丁四。新增加的子并没有带来额外的气。

• 团

图14：方四。新增一气。

容易看出图8中其余的愚形皆可以视为上述三种愚形的组合。

• 跳、双

图15：一子为跳，二字为双。

这种近距离的平行关系也会造成气的共用。

边角效应

最后考量一下在边角行棋的特殊情况。

图16：立（招法），即下在一路，使得原本悬空的棋站立在边界上。

立只提供1气。不过在做死活题的时候，立往往会造成对方「不入气」（使得对方无法延气而束手就擒），这个杀招就是著名的「金鸡独立」。

气的公式

综上，我们可以得到气数公式：

其中愚形损气可以细分为：

<左右滑动查看>

当然，在真实的对弈中该公式并没有实际用处，不过它对于行棋有一定的指导意义：根据每项招法的系数，我们可以知道其对于延气的效果。在公式(3)中，系数越大，延气效果越差。

问题二：目数

如果说气是围棋世界中的纸币，那么目类似于黄金。气随时都在消长，就像纸币的价值会由于通货膨胀等因素随时波动，但目就像黄金一样，价值大，稳定性高，但是流通性差——目不能轻易舍弃。

人们总是热衷于快速围目，而忽略了连通分支生长的健康状况，致使行棋漏洞百出，对方稍加采取措施，由于气不足的问题而节节败退。效率的追求必须要在合理的范围内。所以，拥有一个生长健康的连通分支是博弈时的筹码，尤其在双方实力不相上下的时候，胜负的关键恰恰是谁能走出毛病比较少的棋。

下面我们简单地探讨围目的效率。

「金角、银边、草肚皮」，是传统围棋对角、边、中腹的定性判断。同样围住的是九目棋，可是在角、边、中腹所花费的手数之比是 7：11：16，这个比例约等于2：3：4，这是因为在角部围目只需要砌两面墙，在边上需要三面墙，在中腹则需要四面墙。另外，围目的关键在于形状，最好是凸形，尽可能避免向内的折角，所以棋手常常追求棋形舒展；反过来讲，给对手留下逼仄、曲折的空间是不战而屈人之兵的上策。

前面我们探讨了气的公式，目数公式也与之息息相关。由格点凸多边形Pick定理，

其中 S 表示格点凸多边形面积；P 表示格点凸多边形内部的格点数（目数）；B 表示凸多边形边界上的格点数(子数)。我们移项：

这个公式讨论的是在腹地的围目。读者可以用下图验证。

图17：B=33，P=17，S=32

有趣的是，通过这个公式可以将目与气建立关系，其中的关键在于将落子数B替换为气Q，根据公式(2)(3)：

O我们视之为误差项，主要由愚形效应组成。这个公式计算的是闭合棋形的气，代入Pick定理，有：

通过这个公式可以发现：

1. 目数与面积是呈正相关的；

2. 面积并不是完完全全转化为目数，其中气与愚形的四分之一是折损；

3. 避免愚形，棋形舒展不仅有利于长气，同样有利于目数增加。

结语

我们围绕围棋最基本的两个概念「气」、「目」展开讨论，展示了各种棋形对于两者的影响，并给出定量关系。然而这只是入门，围棋的奥秘远不止于此。一场棋局通常分为三个阶段：布局、中盘、官子。每个阶段的目标不尽相同：布局是定下全盘基调，往有利于我方擅长的局面引导；中盘则是在布局的基础上，激烈的搏杀，争抢全局要点；官子阶段则是收拾残局，将全盘未定死活之棋，按照目数大小，依次序收官。下好一盘棋局，既需要开疆拓土的大局观，又需要深谋远虑的计算，还需要不失毫厘的细心。也难怪古今中外，人们皆推崇围棋有启智之功，大哉天元！

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