有界数列什么意思 你关注过有界数列的充要条件吗

#创作挑战赛#

有界数列一般都比较直观，或者可以通过观察图像，或者可以通过不等式证明来确定，所以很少人会去关注有界数列的充要条件。不过这个充要条件却是真实存在的。而且还相当有趣！

证明：{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在它的收敛子列.

换句话说，就是老子有界，只要也必须每一个儿子都有收敛的孙子。老黄这里有一个疑问：为啥不在儿子辈就把问题解决了，非要牵涉到第三代呢？也就是说，为什么这个充要条件不能是：有界数列的任一子列收敛？下面老黄先分享证明过程，然后再解释这个问题。

证：[必要性]有界数列{xn}的任一子列{x_(nk)}也都有界.【老子有界，儿子也有界，所以说人一生出来，很多东西就被确定了】

由致密性定理知每个有界子列必存在收敛子列{x_(n_(kj))},【致密性定理：有界数列必有收敛子列，是聚点定理的推论】

由{x_(n_(kj )}⊂{x_(nk )}⊂{xn}，得证！

[充分性]已知{xn}的任一子列都存在它的收敛子列，【先设每个儿子都有收敛的孙子，证明老子有界】

若{xn}无界，则必有某子列{x_(nk)}为无穷大量，【反证法，如果老子是富豪，儿子就是富二代，必有某个儿子继续了无穷的家产】

即lim(n→∞)|x_(nk )|= ∞，【这个儿子叫“国民老公”】

∴{x_(nk)}的一切子列{x_(n_(kj))}都是无穷大量，矛盾.【这个儿子的孙子全是富三代，不收敛，其实就是收敛于无穷大，高数很烦人，一会儿说收敛于无穷大算一种收敛，一会儿又不算。显然，这里是不算的。但然，它也有可能在无穷大的地方振荡，只要振荡，就不收敛。这里可以说，不能确定收敛】

∴{xn}是有界数列. 【这就证明了老子是个穷胚】

回过头来，我们看看为什么这个充要条件不能削弱为“老子没钱，只要看所有儿子收敛，也必然所有儿子都收敛”。因为存在一些老子没钱，儿子还很放荡不羁的，就是数列有界，但却存在振荡不收敛的子列。而只有部分子列收敛又无法确定原数列有界。只有每个儿子都生出窝囊的孙子，才能确定，也必可以确定，老子一定是一个穷鬼！