正则里def是什么意思（一文了解L1与L2正则的区别）

最近秋招很多，很多同学是面试的时候都会被问到一个问题，L1和L2正则有什么区别？为什么L1正则可以做特征选择？可以从贝叶斯理论上推导一下吗？等等。。。。下面针对这个问题谈谈自己的看法，注：文中一些公式或者图片借鉴一些博文。

1. 范数

范数是衡量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量以长度或大小。范数的一般化定义：对实数p>=1， 范数定义如下：

范数公式定义

L0范数

当p=0时，是L0范数，其表示向量中非0的元素的个数。

L1范数

当p=1时，是L1范数，其表示某个向量中所有元素绝对值的和。

L2范数

当p=2时，是L2范数， 表示某个向量中所有元素平方和再开根， 也就是欧氏距离。

2.高斯分布

也就是正态分布，若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：

X∼N(μ,σ2),

则其概率密度函数为:

高斯分布概率密度函数

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

3.拉普拉斯分布

如果随机变量的概率密度函数分布为:

它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是数学期望，b > 0 是振幅。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布。

看上面两个分布的概率函数是不是感觉和L1、L2正则有点像？

二、正则化

正则化目的是控制模型参数的大小从而降低模型的复杂性， 达到避免过拟合的问题。

从参数变化的角度：来自知乎上一种比较直观和简单的理解， 模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点， 导致模型函数如下图，处于一种动荡的状态， 每个点的到时在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而加入正则能抑制系数过大的问题。如下公式， 是岭回归的计算公式。

如果发生过拟合， 参数θ一般是比较大的值， 加入惩罚项后， 只要控制λ的大小，当λ很大时，θ1到θn就会很小，即达到了约束数值比较大的特征的目的。

从贝叶斯：从贝叶斯的角度来分析， 正则化是为模型参数估计增加一个先验知识，先验知识会引导损失函数最小值过程朝着约束方向迭代。 L1正则是Laplace先验，L2是高斯先验。整个最优化问题可以看做是一个最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息，损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计。

给定训练数据, 贝叶斯方法通过最大化后验概率估计参数θ：

说明：P(θ)是参数向量θ的先验概率。

下面我们从最大后验估计的方式， 推导下加入L1和L2惩罚项的Lasso和岭回归的公式。

首先我们看下最小二乘公式的推导（公式推导截图来着知乎大神）

假如w参数服从高斯分布:

用过推导可知，这就是L2正则，即是岭回归， 可以理解为最大似然乘以高斯先验。

假如θ参数服从拉普拉斯分布

这个就是Lasso计算公式。最大后验估计就是在最大似然估计公式乘以拉普拉斯先验， 这里就理解前面L1正则就是加入拉普拉斯先验知识。

这个图就说明了LI正则的原理，为什么L1可以做特征选择。L2可以平衡参数的大小。

上式前半部分为原有的损失函数，后半部分为正则项。其中，q=1时即为L1正则化，q=2为L2正则化。

对于q取不同的值，正则化项的轮廓线如下：

总结

1. L2 regularizer ：使得模型的解偏向于 norm 较小的 W，通过限制 W 的 norm 的大小实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了 overfitting 。不过 ridge regression 并不具有产生稀疏解的能力，得到的系数 仍然需要数据中的所有特征才能计算预测结果，从计算量上来说并没有得到改观。

2. L1 regularizer ： 它的优良性质是能产生稀疏性，导致 W 中许多项变成零。 稀疏的解除了计算量上的好处之外，更重要的是更具有“可解释性”。

,