典型数学题解题方法（自古大题多难题）

1、三角变换与三角函数的性质问题

①解题路线图

不同角化同角。

降幂扩角。

化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h。

结合性质求解。

②构建答题模板

化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

2、解三角函数问题

①解题路线图

化简变形；用余弦定理转化为边的关系；变形证明。

用余弦定理表示角；用基本不等式求范围；确定角的取值范围。

②构建答题模板

定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

求结果。

再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

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3、数列的通项、求和问题

①解题路线图

先求某一项，或者找到数列的关系式。

求通项公式。

求数列和通式。

②构建答题模板

找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

写步骤：规范写出求和步骤。

再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

4、利用空间向量求角问题

①解题路线图

建立坐标系，并用坐标来表示向量。

空间向量的坐标运算。

用向量工具求空间的角和距离。

②构建答题模板

找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。

写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。

求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。

求夹角：计算向量的夹角。

得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。

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5、圆锥曲线中的范围问题

①解题路线图

设方程。

解系数。

得结论。

②构建答题模板

提关系：从题设条件中提取不等关系式。

找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。

得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。

再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

6、解析几何中的探索问题

①解题路线图

一般先假设这种情况成立（点存在、直线存在、位置关系存在等）。

将上面的假设代入已知条件求解。

得出结论。

②构建答题模板

先假定：假设结论成立。

再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。

下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。定假设；若推出矛盾则否定假设。

再回顾：查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性。

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7、离散型随机变量的均值与方法

①解题路线图

§ 标记事件；对事件分解；计算概率。

§ 确定ξ取值；计算概率；得分布列；求数学期望。

②构建答题模板

定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。

定型：确定事件的概率模型和计算公式。

计算：计算随机变量取每一个值的概率。

列表：列出分布列。

求解：根据均值、方差公式求解其值。

8、函数的单调性、极值、最值问题

①解题路线图

先对函数求导；计算出某一点的斜率；得出切线方程。

先对函数求导；谈论导数的正负性；列表观察原函数值；得到原函数的单调区间和极值。

②构建答题模板

求导数：求f(x)的导数f′(x)，注意f(x)的定义域。

解方程：解f′(x)＝0，得方程的根。

列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。

得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。

再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。

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遇到大题怎么做？

1、做——常规题目直接做

在理解题意后，立即思考问题属于哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这样一想，做题的方向就有了。

2、套——陌生题目往熟套

高考题目一般而言，很少会出怪题、偏题。很多题目乍一看是新题型，没见过；但是换个角度思考一下；或者试着往下面运算两步、做一下变形，就会回到你熟悉的套路上去。因此遇到没做过的题型，不要慌张，尝试往自己做过的题目上套。

3、推——正面难解反向推

后面的大题，尤其是一些证明题，不少同学会发现正面推到一半推不下去了。这时候不妨尝试从结果开始反向推理证明。或者想一想，想要得出结果，需要哪些已知条件，这些条件能够通过哪些方式获得。从两头入手，向中间挤压、合拢，尽可能完成题目。

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