欧拉定理数学史故事（数学家的成名之作）

被许多人认为是“自古以来最伟大的数学家”的德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯曾经宣称:

研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法------卡尔·弗里德里希·高斯

本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉如何解决著名的巴塞尔问题。欧拉是历史上最伟大的数学家之一，他的文集有92卷之多。皮埃尔-西蒙·德·拉普拉斯宣称欧拉对数学的影响，他说:

读读欧拉吧，他是我们所有人的导师------法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

• 巴塞尔问题

1650年，意大利数学家皮耶特罗·门戈利首次提出了巴塞尔问题。1734年，欧拉解决了这个问题，并立即得到了认可。这个问题要解决的是自然数平方的倒数和:

许多有影响力的数学家试图找到自然数平方倒数和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯(John Wallis)和伟大的戈特弗里德·莱布尼茨(Gottfried Leibniz)都曾尝试过微积分，但都以失败告终。欧拉在年轻时(28岁)就解出了这个问题，他解决这个问题的数学性质令数学界感到惊讶。他的第一个证明(他随后提供了其他几个证明)并不严格，但它的美、简单和独创性是惊人的。

欧拉杰出的见解是写出sinc(πx)函数

上述函数的图形就是：学过复变函数的人应该都很熟悉

为了更好的理解：现在我们考虑如下四次多项式，将其写成根式解的形式

将表达式相乘，得到:

欧拉的策略是将同样的展开应用于超越函数

• 超越函数

这类函数不满足多项式方程，它指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。

指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。如下图

sinc(πx)函数有以下根:

欧拉将sinc(x)写成与上图中f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式

由于方程sinc(πx)的每一个根都有一个对应的负根，所以他可以写出:

下一步是将上式各项相乘，但这里我们只关注二次项:如下图

• 泰勒级数

泰勒级数是将函数表示为无穷项的和。每一项都是从单点上的函数的导数值计算出来的

增加泰勒级数的次数，它收敛于正确的函数。黑色的曲线代表sinx。其他曲线是泰勒近似，多项式的次数是1,3,5,7,9,11，和13

上图所示的七个泰勒级数具有以下代数形式:

sinc(x)函数的泰勒展开为:

我们可以把上述等式看作是无限次数的“多项式”。这种多项式有无穷多个根。

比较两个结果

就得到了我们想要的结果:

另外，欧拉利用上述推导原理给出了著名的沃利斯公式。只要把x = 1/2代入方程sinc(πx)就得到

沃利斯的公式是对巴塞尔问题证明的一种延伸