韩信点兵数学乐乐课堂（趣味数学韩信点兵）

民间故事《韩信点兵》：

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的兴建立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

比如，已知军队人数大概在1000-1100左右，如果1-3报数余2人，1-5报数余3人，1-7报数余2人，则韩信立刻知道总人数1073人。

汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是每次出战都士气大振，经常大获全胜。

把韩信点兵问题再换个更简单的说法，就是说，有个数除3余2，除5余3，除7余2，问你这个数字最小是几？也可以给定一个范围，问你是几。

这类问题，纠结应该怎么下手解决呢？对于这样的问题，要先观察，是否存在规律，如果符合一定的规律，则可以通过简单口诀来实现；如果没有规律，那么就要通过一些特殊方法处理。

一、有规律问题的解法

重要口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加

先来说说最后一句，最小公倍加，意思是，不管什么情况，先把最小公倍数求出来，这个是作为基础。然后根据不同情况进行辨别，如何继续处理。

（一）和同加和

意思是，如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。

例：一个数除5余3，除6余2，除7余1

解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因为5＋3＝6＋2＝7＋1＝8，所以这个数最小就是8，其余满足条件的数字是210的倍数＋8，比如218、428……

（二）差同减差

意思是，如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。

例：一个数除5余3，除6余4，除7余5

解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因为5－3＝6－4＝7－5＝2，所以这个数最小就是：210－2＝208，其余满足条件的数字是210的倍数＋208，比如418、628……

（三）余同取余

这个是最简单的了，意思是，如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。

例：一个数除5余3，除6余3，除7余3

解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，所以这个数最小就是3，其余满足条件的数字是210的倍数＋3，比如213、423……

二、无规律问题的解法

一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个一堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。这筐苹果至少有几个？

（一）逐步约束法

5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。

通常的做法是，7 5=12，余0，不对；12 5=17，余5，不对；17 5=22，余4，不对；22 5=27，余3，对了！所以是27。

实际上，也可以用这样的做法，就是：把除以6余3看成是-3（3－6＝-3），5除以6余-1。问题就简化为：要把7除以6的余数1变成余-3，需要多少个5除以6的-1？很明显，答案是：（-3-1）÷（-1）＝4，也就是说，要在7上面加4个5，也就是加上20，则结果为27

27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，不是余1。要在27上面加多少个30（5和6的最小公倍数）才能余1？

同样的思路，要余1，相当于余8（1＋7＝8），由于30除以7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，答案是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是57。

（二）中国剩余定律

先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字，为42×3＝126，用这个数乘以5的余数。题目中除以5余2，所以126×3＝252；

再找出5和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。题目中除以6余3，所以175×3＝525；

再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。题目中除以7余1，所以120×1＝120；

上述3个数字相加：252＋525＋120＝897

897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数，即为最终答案：897－210×4＝57

三、韩信点兵

回到文章开头韩信点兵的故事，已知军队人数大概在1000-1100左右，如果1-3报数余2人，1-5报数余3人，1-7报数余2人

这个题目我们采用混合做法，既然除以3余2，除以7余2，那么利用同余取余，秒算出来21＋2＝23

然后，看23除以5余3，正好，不用再加21了，答案就是23，多么简单。

考虑到人数在1000-1100之间，23的基础上加上10个3、5、7的公倍数105，也就是23＋10×105＝1073

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