高中数学直线方程公式总结（四个式子可以搞定所有极坐标方程和参数方程）

极坐标方程和参数方程是高中数学选修4-4的内容，很多学生刚学的时候可能会感觉有点乱。

这一块在北京卷里面是必考内容，在全国卷里面是选做题，但是大部分学生会选这一个题。

直线的参数方程和极坐标方程都是比较简单的，这个肯定是需要掌握的。

直线的极坐标方程就是θ=某个角度，转化成普通方程的时候就是y=tanθx。

直线的参数方程，代入消去参数即可。

比较难的是圆的方程，抛物线，双曲线，椭圆的参数方程和极坐标方程。

只需要把下面四个式子都记住，就可以搞定这一块几乎所有题目了。

极坐标方程和普通方程相互转换：x=ρ cosθ y=ρ sinθ ρ ²=x² y² 参数方程和普通方程相互转换：sin²θ cos²θ=1

只需要记住上面的四个式子，这一块的题目基本上都可以做出来了。

因为这一块的题目最关键的是转化成普通方程，只要能转化成普通方程，再去计算就很简单了。

上面sin²θ cos²θ=1很简单，在学三角函数的时候就一直在强调这个公式。

如果记住了x=ρ cosθ y=ρ sinθ，那么ρ ²=x² y²也可以根据第四个式子推出来。

所以最终需要单独记忆的只有x=ρ cosθ y=ρ sinθ，从图像上一分析就能够搞清怎么回事儿。

我们来看一些真题，体验一下是否记住这四个式子，就能做出来所有题目！

2016一卷理

解析：第一问：C1给的是参数方程，转化成极坐标方程，我们需要用普通方程来中转一下。

参数方程转化成普通方程，只需要知道sin²θ cos²θ=1即可。

当然这里θ=t，cost=x/a ，sint=（y-1）/a 所以参数方程可以转化成x² （y-1）²=a²

很显然是一个以（0,1）为圆心，a为半径的圆。

我们先把圆的方程展开可以得到x² y²-2y 1-a²=0

极坐标方程和普通方程相互转化：只需要知道x=ρ cosθ y=ρ sinθ ρ ²=x² y²

所以极坐标方程就是ρ ²-2ρ sinθ 1-a²=0

第二问：直线C3的普通方程是y=2x

曲线C2：ρ =4cosθ 我们记的公式里面只有ρ ² 和 ρ cosθ ，所以很显然这个曲线C2方程两边同时乘以一个ρ ，变成了ρ ²=4ρ cosθ

极坐标方程和普通方程相互转化：只需要知道x=ρ cosθ y=ρ sinθ ρ ²=x² y²

所以曲线C2也就变成了x² y²=4x 处理一下也就是（x-2）² y²=4

既然三个函数方程都变成普通方程了，后面的计算就很简单了。

联立C1 C2求出两个交点（当然是用a来表示的），然后带入C3就可以求出a的值了。

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2015全国一卷理

解析：第一问求C1 C2的极坐标方程。

极坐标方程和普通方程相互转化：只需要知道x=ρ cosθ y=ρ sinθ ρ ²=x² y²

所以C1：x=-2就变成了ρ cosθ=-2 就是要求的极坐标方程。

C2的方程先展开：x²-2x 1 y²-4y 4=1 处理一下可得x² y²-2x-4y 4=0

所以C2的极坐标方程就是ρ ²-2ρ cosθ-4ρ sinθ 4=0

第二问：直线C3的普通方程为y=tanθx=x

既然所有的方程都转换成普通方程了，后面的计算就非常简单了。

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2016北京理

解析：做这个题，关键还是把极坐标方程能够转化成普通方程，剩下的就很简单了。

极坐标方程和普通方程相互转化：只需要知道x=ρ cosθ y=ρ sinθ ρ ²=x² y²

所以直线方程为x-3y-1=0

圆的方程：式子中只有ρ ² 和 ρ cosθ，没见过单独的ρ 和cosθ，所以很显然还是等式两边都乘以一个ρ ，变成了ρ ²=2ρ cosθ ，再利用记住的式子替换一下，那就是x² y²=2x

再处理一下就是（x-1）² y²=1。

剩下的就非常简单了。

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赵老师（18254638393）专注高考数学研究，对每一类题都会总结的比较到位。

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