a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)

a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)(1)

继续上次高数vector的公式证明:

1.两个向量的向量积(俗称的叉乘)性质

2.两个向量夹角的sin

3.点到直线的距离

4.点到平面的距离

5.用向量表示的三角形面积

6.用向量表示的四面体体积

7.异面直线的最短距离

上次证明了1-4,现在来看5-7

5.用向量表示的三角形面积

设三角形的三个顶点是ABC,那么它的面积S是

a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)(2)

这实际上是利用了另一个三角形面积公式S=1/2sinBAC×|AB||AC|,然后把sinBAC用向量AB和AC夹角的sin展开即可

6.用向量表示的四面体体积

如图,从A向底面BCD作垂线,垂足是F,把AF方向用h表示

a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)(3)

7.异面直线的最短距离

如图,设两条异面直线是r=OP1 td1和r=OP2 sd2,A和B是两条直线上距离最短的两个点,于是AB与两条直线都垂直。连接两条直线上的点P1和P2,并平移至P2与B重合,此时P1对应平移到C点,连接CP1和AC。这样BCP1P2是一个平行四边形,这是很明显的。同时ABC是一个直角三角形,AB与AC垂直,这是不太明显的,我们先在此基础上推导出AB的长度,即两条直线的最短距离,然后再补充AB与AC垂直的证明。

a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)(4)

下面证明AB与AC垂直,我直接用比较直观的箭头表示

a-level 进阶数学(A-level高数vector部分公式证明)(5)

其中①是空间几何原理:如果一条直线与平面上两条不平行的直线都垂直,则与这个平面垂直。②是如果一条直线与一个平面垂直,则与这个平面上所有的直线都垂直。

怎么学好A-level数学?

养成良好的学习习惯,包括预习,做笔记,整理错题等。

注重知识体系搭建,构建知识体系能够帮助自己更好的记忆知识点,调用知识点。

刷真题,A-Level真题是最好的练习材料,刷真题能达到更高效的练习,也能对自己的薄弱点有更清楚的认知,从而查漏补缺。

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