幂函数导数公式推导 简单数学公式证明系列1-2

【本系列属于简单数学知识科普，适合有一定数学基础的高中生阅读，不严谨之处还望多多包涵，有错误之处还望指正】，我来为大家科普一下关于幂函数导数公式推导 简单数学公式证明系列1-2?以下内容希望对你有帮助!

幂函数导数公式推导 简单数学公式证明系列1-2

【本系列属于简单数学知识科普，适合有一定数学基础的高中生阅读，不严谨之处还望多多包涵，有错误之处还望指正】

牛顿提出广义二项式定理后，开始着手研究根据函数表达式求面积的方法。方向恰恰相反，牛顿先假定了有理幂函数曲线与x轴0到x围成的面积为，研究面积随着x变化的瞬时变化率，牛顿把它称之为流数，用现代数学语言讲就是导函数。牛顿研究了两个值之间的面积增量，用上节所说的广义二项式定理展开：

当o非常小时，x o可以看做是x，面积增量成为一个矩形，即

，这样函数

这时牛顿来了个骚操作，因为是瞬时变化，就干脆令o=0带入式子中

，用现代求导的语言来说即

。也就是说，只要知道某个幂函数的求积函数，就可以推算出这个幂函数的表达式；反之，若知道幂函数，也可以推算出这个幂函数曲线与x轴0到x围成的面积为。

这里同学们可能已经发现里面有个巨大的逻辑问题，推导过程中o有作为除数，除完以后怎能令o=0再继续下去？有问题归有问题，但顶不住真香啊，之后的一段时间数学家、物理学家用微积分的思想、公式、定理解决了一大堆之前无法解决的问题，充分证明了微积分的巨大力量，从此数学的发展迈进高等数学领域。（我们下节讲极限时再进行完善）

既然提到了牛顿，就不得不介绍另一位全才数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，他与牛顿是同时独立完成微积分的一套理论，谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。相比之下，莱布尼茨创造的微分概念更加先进，现在使用的微分符号dx,dy就是出自他手，比如上式可用微分符号写成；积分符号∫也是莱布尼茨创新使用，对两边求积分即可得到，比起流数符号来说大大增强了运算的系统化，特别是在解微分方程中大放异彩。而牛顿则把微积分运用到了运动学中，以此构建了经典物理学体系，造诣要远高于莱布尼茨。