圆的相关知识点归纳和书写规范（我们就应该掌握这些类型及方法）

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关性质以及对于性质，概念的准确叙述等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，请同学们注意.

类型1 结论探究问题

例1.（2018秋•江都区校级月考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是弧AC上的一点，连接AD、BD，AC交BD于点F，DE⊥AB于点E，交AC于点P，∠ABD＝∠CBD＝∠CAD．

（1）求证：PA＝PD；

（2）判断AP与PF是否相等，并说明理由；

（3）当点C为半圆弧的中点，请写出BF与AD的关系式．并说明理由．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径知∠ABD ∠BAD＝90°、由DE⊥AB知∠BAD ∠ADE＝90°，据此可得∠ABD＝∠ADE，根据∠ABD＝∠CAD得出∠CAD＝∠ADE，从而得证；

（2）证∠EDF＝∠DFP，得PA＝PD＝PF；

（3）延长AD、BC交于点H，先证△BDA≌△BDH得AD＝DH＝1/2AH，再证△ACH≌△BCF得BF＝AH＝2AD．

【解答】（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ABD ∠BAD＝90°，

∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，即∠BAD ∠ADE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，

∵∠ABD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴PA＝PD；

（2）∵∠DAF ∠AFD＝90°，∠ADP ∠PDF＝90°，且∠DAF＝∠ADP，

∴∠AFD＝∠PDF，∴PD＝PF，

又∵PA＝PD，∴PA＝PF；

（3）如图，延长AD、BC交于点H，

则∠BDA＝∠BDH＝90°，

在△BDA和△BDH中，

∵

∴△BDA≌△BDH（ASA），∴AD＝DH＝1/2AH，

∵C为半圆弧的中点，∴AC＝BC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACH＝90°，

在△ACH和△BCF中，

∵

∴△ACH≌△BCF（ASA），∴BF＝AH＝2AD．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点．

类型2 存在性问题

例2．（2018秋•泗阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点M是AO中点，⊙A的半径为2．

（1）若△PAB是直角三角形，则点P的坐标为　 　．（直接写出结果）

（2）若PM⊥AB，则BP与⊙A有怎样的位置关系？为什么？

（3）若点E的坐标为（0，3），那么⊙A上是否存在一点P，使PE 1/2PB最小，如果存在，求出这个最小值，如果不存在，简要说明理由．

【分析】（1）依题意，分两种情形：①∠PAB＝90°，②∠APB＝90°分别求解即可解决问题；

（2）求出PA，PB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可；

（3）如图3中，连接EM．由△PAM∽△BAP，推出PM/PB=PA/AB＝1/2，推出PM＝1/2PB，推出PE 1/2PB＝PE PM，由PE PM≥EM，推出PE PM的最小值为线段EM的长．由此即可解决问题；

【解答】（1）设P（m，n），

①如图1，当∠PAB＝90°时，

∵⊙A的半径为2，且A（﹣2，0），

∴点P₁（﹣2，2），P₂（﹣2，﹣2）；

②如图2，当∠APB＝90°，

∵A（﹣2，0），B（2，0），

∴PA^²＝（m 2）^² n^²＝2^²①，

PB^²＝（m﹣2）^² n^²，AB^²＝16，

由PA^² PB^²＝AB^²得4 （m﹣2）^² n^²＝16 ②

由①②得到：m＝﹣1，n＝±√3，

∴P（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．

故答案为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．

（2）如图2中，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝∠BMP＝90°，

在Rt△APM中，∵∠PMA＝90°，PA＝2，AM＝1，

∴PA^² PB^²＝4 12＝16，

∵AB^²＝16，∴PA^² PB^²＝AB^²，∴∠APB＝90°，∴△PAB是直角三角形．

（3）如图3中，连接EM．

∵PA^²＝4，AM•AB＝4，∴PA^²＝AM•AB，∴PA/AM=AB/PA，

∵∠PAM＝∠BAP，∴△PAM∽△BAP，∴PM/PB=PA/AB=1/2，

∴PM＝1/2PB，∴PE 1/2PB＝PE PM，

∵PE PM≥EM，∴PE PM的最小值为线段EM的长，

∵E（0，3），∴OE＝3，

【点评】本题属于属于圆综合题，考查了勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

类型3 自定义问题

例3（2018•南通模拟）如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

（2）若弧CD的长为13π/4，求“回旋角”∠CPD的度数；

（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24 13√3，直接写出AP的长．

【分析】（1）利用平角求出∠APD＝60°，即可得出结论；

（2）先求出∠COD＝45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；

（3）①当点P在半径OA上时，利用（2）的方法求出∠CFD＝60°，∠COD＝120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；

②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP＝3，即可得出结论．

【解答】∠CPD是直径AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；

（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，

∴n＝45，∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD ∠CPD ∠BPC＝180°，∴∠OPE ∠CPD ∠BPC＝180°，

∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝1/2∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，

（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，

∴PF＝PC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，

∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，

连接OC，OD，∴∠COD＝120°，

过点O作OG⊥CD于G，

∴PD PC＝24，

∵PC＝PF，∴PD PF＝DF＝24，

过O作OH⊥DF于H，

∴DH＝1/2DF＝12，

在Rt△OHD中，利用勾股定理可得OH＝5，

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；

②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：满足条件的AP的长为3或23．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，三点共线，锐角三角函数，勾股定理，新定义，正确作出辅助线是解本题的关键．

类型4 研究性问题

例4．（2018秋•锡山区期中）（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），求证： √2PA＝PB PC．

请你根据图中所给的辅助线，给出作法并完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝4/3AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为_______．

【分析】（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，由旋转的性质可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证√2AP＝PQ＝PC PB；

（2）连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，则可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根据勾股定理可求OE＝3√2，根据三角形三边关系可得BE≥OE﹣OB＝3√2﹣3 （当点B在OE上时，取等号），即可求OC的最小值；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝4/3OC，当BQ最小时，OC最小．

【解答】（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置．

证明如下：∵BC是直径,∴∠BAC＝90°＝∠BPC

∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠ABC＝45°

由旋转可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB

∵∠PCA ∠PBA＝180°,∴∠QBA ∠PBA＝180°,∴Q，B，P三点共线

∴∠QAB ∠BAP＝∠BAP ∠PAC＝90°,∴QP²＝AP² AQ²＝2AP²

∴QP＝√2AP＝QB BP＝PC PB,∴√2AP＝PC PB

（2）如图2：连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，

∵AB⊥AC, ∴∠BAC＝90°

由旋转可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC

∴∠EAB ∠BAO＝∠BAO ∠OAC＝90°,

∴OC最小值是3√2﹣3

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，

∵QA/OA=AB/AC=4/3，∴△QAB∽△OAC，∴BQ＝4/3OC，

当BQ最小时，OC最小，易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQ﹣OB，

∴BQ≥2，∴BQ的最小值为2，∴OC的最小值为3/2

故答案为3/2.

【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

总之，我们在圆问题中要领悟思想方法：遇到直径时,一般要引直径上的圆周角,将直径这一条件转化为直角的条件.遇到有切线时,一般要引过切点的半径,以便利用切线的性质定理;或连结过切点的弦,以便利用弦切角定理.遇到过圆外一点作圆的两条切线时,常常引这点到圆心的连线,以便利用切线长定理及其推论.求周长和面积要注意利用割补思想.圆柱和圆锥的侧面展开图是研究“化曲为直”的一条重要的思想方法.

针对近几年中考命题方向的预测，我们提出了复习的对策.

1. 打牢基础：准确理解与圆有关的概念及性质，理解弦、弧、圆心角与圆周角之间的关系； 会从点与圆，直线与圆关系中探索相应半径与距离的数量关系；会用垂径定理、切线长定理来证明一类与圆有关的的几何题；会利用圆内接四边形的性质、弧长与扇形面积公式，解决与圆柱，圆锥展开图有关的计算题并会借助分割和转化思想求阴影面积.

2.掌握方法：圆的复习不仅要抓住基础题目的基本方法，还要从典型问题的特殊方法着手强化训练，在解决问题的过程中不仅要善于掌握解题方法，而且要从中及时总结规律，为以后解题提供帮助.

3.关注应用：会利用圆的有关知识解决一些有关圆的实际应用题，动态题，探索题及阅读理解题等

我们在复习时要从学科整体意识和思想方法上着手，掌握圆的有关性质、与圆的有关的位置关系；注重通性通法，淡化特殊技巧方法.我们要认真研究试题解题过程中的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，数学思想方法，内容丰富，形式多样.在复习阶段应该对数学思想方法进行梳理总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序和操作程序.使我们的数学理性思维能力得到较全面的提高，举一反三，以不变应万变.

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