自然数的四次方是什么(我们用一般方法得到)
自然数的任意次幂之和是一个非常有趣的问题,但也是数学的难点,麦克劳林和欧拉对此进行了系统的研究,最终得到了数值分析中著名的麦克劳林-欧拉公式,因麦克劳林-欧拉公式过于深奥,本篇我们不讨论,仅从一般情况下得到任意次方之和是如何得到的
如连续自然数的4次方之和,它不像一次方,二次方,三次方那样比较容易得到,4次方计算起来是比较困难的,
我们从一次方,二次方,三次方公式的规律,可以得到自然数的4次方之和公式的前两项,但剩余项却是个未知数
我们将已有的自然数幂之和用S1,S2,S3,...代替
你会发现S3=(s1)^2
为了得到自然数的4次方之和,我们必须引入牛顿二项式定理,
将加号变为负号时,就有
我们重点关注(x-1)^5,当X=1
所以就得到如下的结论
将等号右边的式子化简得到
将前4个多项式相加:等号右边就得到
根据上述规律,n个多项式相加时,就得到n^5
上述,等号左边的相加,就得到如下结果
我们将S1,S2,S3,的公式带入,
就得到连续自然数的4次方之和:S4的结论
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