小学奥数经典题型归纳（小学奥数1-6年级经典题型）

卖马

　　从前，有一个商人特别精明。有一次，他在马市上用10两银子买了一匹马，一转手以20两银子的价钱卖了出去;然后，他再用30两把它买进来，最后以40两的价钱卖出。在这次马的交易中，他赚了多少钱?

　　参考答案：

　　这次买卖可分为两次来看。第一次买进10两银子，卖出20两银子，所以赚了10两银子。第二次买进30两银子，卖出40两银子，因此也赚了10两银子。在马的交易中，商人共赚了20两银子。

人数

　　小亮走进教室，看见教室里只有8名同学，那么现在教室里一共有几名同学?

　　参考答案：

　　粗心的小朋友一看题目就认为是8名同学，但这个答案是错的，认真审题后可以发现，题中已经指出"小亮走进教室"，因此现在同学的人数应该包括小亮，所以一共有9名同学。

蜗牛爬井

　　一只蜗牛沿着10米深的井往上爬，白天向上爬5米，到夜里往下滑了3米，那么蜗牛什么时候可以爬出井口?

　　参考答案：

　　小蜗牛白天爬上了5米，晚上又掉下了3米，那实际上每天只能爬上去2米，爬前6米小蜗牛用了3天，还剩4米，因此第4天就可以爬出去了。

赛跑

　　小动物们举行动物运动会，在长跑比赛中有4只动物跑在小松鼠的前面，有3只动物跑在小松鼠的后面，一共有几只动物参加长跑比赛?

　　参考答案：

　　这道题要明确问题的关键，我们可以把跑步的所有小动物看成一个队列，小松鼠前面有4只小动物，后面有3只小动物，在这个队列中，就是没有数松鼠自己，所以求这队的总数还要把小松鼠加上。4 3 1=8(只)，一共有8只动物参加长跑比赛。

数萝卜

　　小灰兔有10个萝卜，如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，小白兔有多少个萝卜?

　　参考答案：

　　如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，一样多时都是13个，求小白兔原来额萝卜，就要把它给小灰兔的3个加上所以是16个。

自然数列趣题

　　本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它。

　　例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”?

　　解：分类计算：

　　“1”出现在个位上的数有：

　　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个;

　　“1”出现在十位上的数有：

　　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个;

　　“1”出现在百位上的数有：100共1个;

　　共计10 10 1=21个。

　　例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字?

　　解：分类计算：

　　从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9(个);

　　从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180(个);

　　第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：

　　9 180 3=192(个)。

　　例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少?　

　　解：(见图5—1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：

　　如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：

　　(1 2 3 4 5 6 7 8 9)×10

　　=45×10

　　=450。

　　窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：

　　1×10 2×10 3×10 4×10 5×10 6×10 7×10

　　 8×10 9×10

　　=(1 2 3 4 5 6 7 8 9)×10

　　=45×10

　　=450。

　　另外100这个数的数字和是1 0 0=1。

　　所以，这一百个自然数的数字总和是：

　　450 450 1=901。

　　顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力。比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来?

数与形相映

　　形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.

　　例1 最初的数和最简的图相对应.

　　这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.

　　例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.

　　例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.

　　毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.

　　第一个数：1=1

　　第二个数：3=1 2

　　第三个数：6=1 2 3

　　第四个数：10=1 2 3 4

　　第五个数：15=1 2 3 4 5

　　…

　　第n个数：1 2 3 4 5 … n

　　

　　指定的三角形数.比如第100个三角形数是：

　　

例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受

　　毕达哥拉斯及其弟子推崇.

　　

　　第一个数：1=12=1

　　第二个数：4=22=1 3

　　第三个数：9=32=1 3 5

　　第四个数：16=42=1 3 5 7

　　第五个数：25=52=1 3 5 7 9

　　…

　　第n个数：n2=1 3 5 9 … (2n-1).

　　四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.

　　例5 类似地，还有四面体数见下图.

　　

　　仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：

　　第一个数：1

　　第二个数：4=1 3

　　第三个数：10=1 3 6

　　第四个数：20=1 3 6 10

　　第五个数：35=1 3 6 10 15.

　　例6 五面体数，见下图.

　　

　　仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：

　　第一个数：1=1

　　第二个数：5=1 4

　　第三个数：14=1 4 9

　　第四个数：30=1 4 9 16

　　第五个数：55=1 4 9 16 25.

　例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.

　　由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.

　　

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

　　22 2×2 1.

　　方法2：把点图看作一个整体来算32.

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

　　22 2×2 1=32.　

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

　　32 2×3 1.

　　方法2：把点图看成一个整体来算：42.

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

　　32 2×3 1=42.

　　

　　方法1：先算空心点，再算实心点：

　　42 2×4 1.

　　方法2：把点图看成一个整体来算52.

　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

　　42 2×4 1=52.

　　把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：

　　22 2×2 1=32

　　32 2×3 1=42

　　42 2×4 1=52

　　…

　　n2 2×n 1=(n 1)2.

　　利用这个公式，也可用于速算与巧算.

　　如：92 2×9 1=(9 1)2=102=100

　　992 2×99 1=(99 1)2

　　=1002=10000.

速算与巧算

　　例1 2×4×5×25×54

　　=(2×5)×(4×25)×54 (利用了交换

　　=10×100×54 律和结合律)

　　=54000

　　例2 54×125×16×8×625

　　=54×(125×8)×(625×16) (利用了

　　=54×1000×10000 交换律和结合律)

　　=540000000

　　例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8

　　=5×(2×4×8)×25×125 的连乘积是关键一

　　=(5×2)×(4×25)×(8×125) 步.

　　=10×100×1000

　　=1000000

　　例4 37×48×625

　　=37×(3×16)×625 注意37×3=111

　　=(37×3)×(16×625)

　　=111×10000

　　=1110000

　　例5 27×25 13×25 逆用乘法分配律，

　　=(27 13)×25 这样做叫提公因数

　　=40×25

　　=1000

例6 123×23 123 123×76 注意123=123×1;再

　　=123×23 123×1 123×76 提公因数123

　　=123×(23×1 76)

　　=123×100

　　=12300

　　例7 81 991×9 把81改写(叫分解因

　　=9×9 991×9 数)为9×9是为了下

　　=(9 991)×9 一步提出公因数9

　　=1000×9

　　=9000

　　例8 111×99

　　=111×(100-1)

　　=111×100-111

　　=11100-111

　　=10989

　　例9 23×57-48×23 23

　　=23×(57-48 1)

　　=23×10

　　=230

　　例10 求1 2 3 … 24 25的和.

　　解：此题是求自然数列前25项的和.

　　方法1：利用上一讲得出的公式

　　和=(首项 末项)×项数÷2

　　1 2 3 … 24 25

　　=(1 25)×25÷2

　　=26×25÷2

　　=325

　　方法2：把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!)

　　想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?

例11 求8 16 24 32 … 792 800的和.

　　解：可先提公因数

　　8 16 24 32 … 792 800

　　=8×(1 2 3 4 … 99 100)

　　=8×(1 100)×100÷2

　　=8×5050

　　=40400

　　例12 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?

　　解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列.

　　那么第1排有多少个座位呢?因为：

　　第2排比第1排多2个座位，2=2×1

　　第3排就比第1排多4个座位，4=2×2

　　第4排就比第1排多6个座位，6=2×3

　　

　　这样，第25排就比第1排多48个座位，

　　48=2×24.

　　所以第1排的座位数是：70-48=22.

　　再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：

　　和=(22 70)×25÷2

　　=92×25÷2

　　=1150.

数数与计数

　　例1 数一数，下面图形中有多少个点?

　　

　　解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图.

　　

　　点的总数是：

　　5 5 5 5=5×4.

　　方法2：从左至右一列一列地数，见下图.

　　

　　点的总数是：4 4 4 4 4=4×5.

　　因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化.所以应有下列等式成立：

　　5×4=4×5

　　从这个等式中，我们不难发现这样的事实：

　　两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变.

　　这就是乘法交换律.

　　正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：

　　两个数相乘，交换因数的位置，积不变.

　　如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a.

　　方法3：分成两块数，见右图.

　　

　　前一块4行，每行3个点，共3×4个点.

　　后一块4行，每行2个点，共2×4个点.

　　两块的总点数=3×4 2×4.

　　因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化.所以应有下列等式成立：

　　3×4 2×4=5×4.

　　仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：

　　3 2=5

　　所以上面的等式可以写成：

　　3×4 2×4=(3 2)×4

　　也可以把这个等式调过头来写成：

　　(3 2)×4=3×4 2×4.

　　这就是乘法对加法的分配律.

　　如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：

　　(a b)×c=a×c b×c

　　分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和.

　　进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢?请看下面的例子：

　　计算(3-2)×4和3×4-2×4.

　　解：(3-2)×4=1×4=4

　　3×4-2×4=12-8=4.

　　两式的计算结果都是4，从而可知：

　　(3-2)×4=3×4-2×4

　　这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况.

　　如果用字母a、b、c(假设a>b)表示三个数，那么上述事实可以表示如下：(a-b)×c=a×c-b×c.

　　正因为这个分配律对括号中的“ ”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律.

例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的?

　　

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图.

　　第一层 4×2个

　　第二层 4×2个

　　第三层 4×2个

　　三层小长方体的总个数(4×2)×3个.

　　方法2：从左至右一排一排地数，见下图.

　　

　　第一排 2×3个

　　第二排 2×3个

　　第三排 2×3个

　　第四排 2×3个

　　四排小长方体的总个数为(2×3)×4.

　　若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×(2×3).

　　因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化.把两种方法连起来看，应有下列等式成立：(4×2)×3=4×(2×3).

　　这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同.

　　或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律.

　　如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：(a×b)×c=a×(b×c).

　　巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速.

　　从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式.

例3 数一数，下图中有多少个点?

　　

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.

　　

　　总点数=1 2 3 4 5 6 7 8 9=45.

　　方法2：补上一个同样的三角形点群(但要上下颠倒放置)和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立(见下图)：

　　三角形点数=长方形点数÷2

　　因三角形点数=1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　而长方形点数=10×9=(1 9)×9

　　代入上面的文字公式可得：

　　1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　=(1 9)×9÷2=45.

　　

　　进一步把两种方法联系起来看：

　　方法1是老老实实地直接数数.

　　方法2可以叫做“拼补法”.经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了.

　　即1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　=(1 9)×9÷2.

　　这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了.这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了.

　　再进一步，若脱离开图形(点群)的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：

　　

　　这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：

　　从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半.或是写成下面的文字式：

　　和=(首项 末项)×项数÷2

　　这个文字式通常又叫做等差数列求和公式.

　例4 数一数，下图中有多少个点?

　　

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：

　　

　　总点数=2 3 4 5 6=20.

　　方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

　　

　　由图可见，有下列等式成立：

　　梯形点数=长方形点数÷2.

　　因为梯形点数=2 3 4 5 6

　　而长方形点数=8×5=(2 6)×5

　　代入上面的文字式，可得：

　　2 3 4 5 6=(2 6)×5÷2

　　与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式.

　　再进一步，若脱离开图形(点群)的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：

　　

　　这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5.这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：

　　等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半.

　　写成下面较简化的文字式：

　　和=(首项 末项)×项数÷2

　　这就是等差数列的求和公式.

　例5 数一数，下图中有多少个小三角形?

　　

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.

　　

　　小三角形总数=1 3 5 7=16个.

　　方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示.

　　

　　显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立.

　　大三角形中所含=平行四边形所含÷2

　　平行四边形所含=8×4=(1 7)×4(个)

　　大三角形中所含=1 3 5 7=16

　　代入上述文字式：

　　1 3 5 7=(1 7)×4÷2

　　这样，我们就得到了一个公式：

　　小三角形个数=(第一层的数 最末层的数)×层数÷2

　　脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：

　　

　　等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4.这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：

　　等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半.

　　写成较简单的文字式：

　　和=(首项 末项)×项数÷2.

机智与顿悟

　　例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5.问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天?

　　解：一年中两国符号相同的日子共有12天.

　　它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7

　　二月二日 2/2 八月八日8/8

　　三月三日 3/3 九月九日9/9

　　四月四日 4/4 十月十日10/10

　　五月五日 5/5 十一月十一日 11/11

　　六月六日 6/6 十二月十二日 12/12

　　注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟.

　　例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人?

　　解：全家共有5口人.妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹.如果你列出算式：

　　1个妈妈 3个男孩 3个妹妹=7口人那就错了.

　　为什么呢?请你想一想.

　　例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔?

　　解：小明比小刚多4支铅笔.

　　注意，可不是多2支;如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了.

　　例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍.你知道车上买了票的乘客最少有几人吗?

　　解：最少1人.因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”.有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗.

　　例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2 3 4比2×3×4小.那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大?

　　解：和大.注意：“0”是个很有特点的数.

　　①0加到任何数上仍等于这个数本身;

　　②0乘以任何数时积都等于0;

　　把它们写出来就是：

　　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9=45

　　0×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0

所以，应当重视特例.

例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几?你由此想到一般关系式吗?

　　解：这两个数就是17和15.

　　因为它们的和比15大17，又比17大15.

　　由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一.

　　此题可能引起你如下联想：

　　和-15=17，

　　那么和=15 17.

　　一般和=一个数 另一个加数，

　　或写成：和-一个加数=另一个加数，

　　或写成：被减数-减数=差，

　　也可写成：被减数-差=减数.

　　以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了.

　　学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通.

　　例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本.已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍.又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多?

　　解：他俩花的钱一样多.

　　可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符.可见两人花的钱一样多.

　　结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的.

　　例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天.小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗?”小朋友你说呢?

　　解：不会出太阳.因为从中午起再过36个小时正好是半夜.而阴雨天和夜里是不会出太阳的.

　　注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”?“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样?本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰.学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率.

　　例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画.他画了一张像框的尺寸图拿给你看(右图)，请你帮他算算，需要多长的材料才能做好?(画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角).

速算与巧算

　　一、加法中的巧算

　　1.什么叫“补救”?

　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万……，就能把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

数字迷

　　数字迷是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。这一讲我们主要研究加、减法的数字迷。

多种思路，探索求解

　　题目：早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少20米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些?(九年义务教育六年制小学教科书第九册128页思考题)

一、逻辑推理法。小明跑的路程的2倍比爸爸跑的路程多，妈妈跑的路程的2倍比爸爸跑的路程少。所以，2倍的小明跑的路程比2倍的妈妈跑的路程多，也就是小明跑的路程比妈妈跑的路程长些。

二、字母代换法。用a表示小明跑的路程，b表示妈妈跑的路程，2a-20或2b 10就是爸爸跑的路程。

　　2a-20=2b 10

　　2a=2b 30

　　2a>2b，a>b

　　所以小明跑的路程长些。

三、设值逆推法1。设爸爸跑的路程是1000米。

　　小明跑的路程就为：(1000 20)÷2=510(米)

　　妈妈跑的路程就为：(1000-10)÷2=495(米)

　　所以小明跑的路程长些。

四、设值逆推法2。设小明跑的路程是500米。

　　爸爸跑的路程就为：500×2-20=980(米)

　　妈妈跑的路程就为：(980-10)÷2=485(米)

　　所以小明跑的路程长些。

五、设值逆推法3。设妈妈跑的路程是500米。

　　爸爸跑的路程就为：500×2 10=1010(米)

　　小明跑的路程就为：(1010 20)÷2=515(米)

　　所以小明跑的路程长些。

相遇问题思维新探

　　一、统一部分量并采用比差的思维方法。

　　例1甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，①1小时后两人共走全程

　　分析与解：这道相遇问题的条件比较特殊，从①知两人同时相向而行1　　

　　一时间这个量基本办法有二个：其一，将②中时间改为两人各走1小时，乙停下，甲继续走20分钟，两人正好走完全程;其二将①中时间改为两人各走

=2(小时)。

　　二、以部分量的比的变化为线索并采用多方沟通的思维方法。

　　例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米?

　　分析与解：这道题可画示意图(3)。其突出的特点是甲、乙两人在相遇前后速度量的比有变化;出发至相遇其速度比是3∶2;相遇后各自提速

　　

　　20%及30%，其速度比是3×(1 20%)∶2×(1 30%)=18∶13。将速度比与路程比沟通，即其对应的路程比分别是3∶2和18∶13。路程比3∶2即可看作将全程平均划成5段，相遇时甲走3段，乙走2段;路程比18∶13，可看作甲从相遇点到达B点的这段路程分成18等份，此时乙走13等份。将段数与份数沟通，即由图(3)知18份=2段，这样全程5段就可分为45份，依此可得乙离A14千米时，所占份数是：45-(13 18)　

谈谈数学解题中的假设方法

　　所谓假设法，就是假设题中的某几个数量相等，或假设要求的一个未知量是已知数量，把复杂问题化为简单问题处理，再进行推算，以求出原题的答案。其解题思路可用下图表示。

　　

　　假设思想方法是一种重要的数学思维方法，掌握它能使要解决的问题更形象、更具体，从而丰富解题的思路。下面举例说明用假设法解题的常见类型。

　　一、条件假设

　　在解题时，有些题目数量关系比较隐蔽，如果对某些条件作出假设，则往往能顺利找到解题途径。

　　例1有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个?

　　分析与解假设每次取出的黑子不是4个，而是6个，也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，剩下黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差2个。由此可知，一共取的次数是(16÷2=)8(次)。故白棋子的个数为：(3×8=)24个)，黑棋子个数为(24×2=)48(个)。

　　

　　25吨，问甲、乙两堆货物原来各有多少吨?

　　

　　把这种假设的情形与题中已知情形作出比较，发现多了(27.5-25=)2.5吨。　

=50(吨)，所以甲堆货物有60吨。

二、问题假设

　　当直接解一些题目似乎无从下手时，可对问题提出假设性答案，然后进行推算，当所得结果与题目的条件出现差异时，再进行调整，直至与题目的条件符合，从而得出正确答案。

　　例3有一妇女在河边洗碗，掌管桥梁的官吏路过这里，问她：“你怎么洗这么多碗?”，妇女回答：“家里来了客人”。官吏又问：“有多少个客人?”妇女回答：“2个人共一碗饭，3个人共一碗羹，4个人共一碗肉，一共65只碗”。问共有多少客人?(选自《孙子算经》)

　　分析与解假设有12个客人(因为[2，3，4]=12)，由题设知：12个人共用了(12÷2=)6(只)饭碗、(12÷3=)4(只)羹碗、(12÷4=)3(只)肉碗，所以12个人共用了(6 4 3=)13(只)碗。而题目的条件是65只碗，是根据假设进行计算所得结果的5倍，因此，客人数一共有(12×5=)60(人)。

　　三、单位假设

　　解答某些应用题时，可假设某个数量为单位“1”或几，进而列式求解。

　　苹果?

　　分析与解假设甲筐有苹果5(重量单位)，卖出3/5后，还剩(5　　

量单位)。因此甲筐苹果比乙筐少(6.4-5=)1.4(重量单位)，但实际上甲筐苹果比乙筐少7千克，所以每1(重量单位)相当于(7÷1.4=)5(千克)。所以甲筐苹果重(5×5=)25(千克)，乙筐苹果重(5×6.4=)32(千克)。

　　四、情境假设

　　有些应用题情境较复杂，数量关系不明显，这时可对情境进行适当地假设，使隐蔽的数量关系明朗化，达到化难为易的目的。

　　例5松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，它一连8天采了112个松子，问这几天中晴天、雨天各多少天?

　　分析与解假设这8天全是雨天，一共采了(12×8=)96(个)，比实际少了(112-96=)16(个)，从而可求出晴天数(16÷(20-12)=)2(天)，雨天数为(8-2=)6(天)。

　　例6四(2)班学生在校办工厂糊纸盒，原计划糊制1200个，实际每时糊的纸盒是原计划的1.2倍，结果提前4时完成任务，问原计划糊纸盒几时?

　　分析与解假设没有提前，而是按原计划时间劳动，则糊成的纸盒是(1200×1.2=)1440(个)，比原计划多做(1440-1200=)240(个)，因为多糊的240个是在4时内做成的，因此实际每时糊纸盒(240÷4=)60(个)，原计划每时糊(60÷1.2=)50(个)。

　　假设思想方法在小学应用题解答中应用较广泛。因此，教师在教学用算术方法解应用题时，应有意识地经常地予以适当训练，以提高学生的解题能力，提高学生的智力水平。

最值问题解法举例

　　在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。

　　一、枚举法

　　例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?

　　(北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题)

　　分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3 2 1=6(次)。

　　二、综合法

　　例2x3=84A(x、A均为自然数)。A的最小值是______。(1997年南通市数学通讯赛试题)

　　分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。

　　即A的最小值为(2×3×3×7×7=)882。

　　三、分析法

　　例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，(a、b均为自然数)，a b的最大值是多少?

　　(广州市五年级数学竞赛试题)

　　分析与解若要求a b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得

　　43a b=一个三位数

　　因为b是余数，它必须比除数小，即b<43b的最大值可取42。

　　根据上面式子，考虑到a不能超过23。(因为24×43>1000，并不是一个三位数)

　　当a=23时，43×23 10=999，此时b最大值为10。

　　当a=22时，43×22 42=988，此时b最大值为42。

　　显然，当a=22，b=42时，a b的值最大，最值为22 42=64。

　四、公式法

　　例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少?(广州市小学数学竞赛试题)

　　分析与解设两个正数分别为a、b，它们有以下几种关系，a b≥

　　

　　值，运用此公式，本题迎刃而解。

　　

即这两个自然数的积的最大值为81。

　　五、图表法

　　例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个?

　　(北京市“迎春杯”数学竞赛试题)

　　分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：

　　

　　从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为

　　(10 9 8 7 6)-(1 2 3 4)=30(人)

　　所以这辆汽车至少应有座位30个。

　　最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法

数列推理的妙用

　　我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推理，得出其排列规律，从而推出要填的数。例如：

　　在下列各列数中，□内应填什么数?

　　(1)3，11，19，□;

　　(2)7.9，6.6，5.3，□;

　　(3)□，25，42，59。

　　这几列数的排列规律是不难发现的：在第(1)列数中，后一个数比前一个数多8，□内应填27;在第(2)列数中，后一个数比前一个数少1.3，□内应填4;在第(3)列数中，前一个数比后一个数少17，□内应填8。

　　巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。今举数列说明如下。

　　例1 学校计划购买篮球和排球。如果购买6只篮球和5只排球要花263元;如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。问一只篮球和一只排球各值多少元?

　　解 把已知条件写成下面两列：

　　篮球6 4

　　排球5 7

　　价值 263 245

　　首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即6→4→2→0;同理，第二列数为5→7→9→11，第三列数为263→245→227→209。上面推理过程可以表述为：

　　

　　现在我们竖着看，第四列(推出的)数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为(209÷11=)19(元)。再根据第一个条件，可算得1只篮球为(263-19×5)÷6=)28(元)。

　　例2 甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个;甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。问甲、乙两人每时各加工几个零件?

　　解 把已知条件写成竖列，按横列推理：

　　

　　竖着看：第四列(即推出的最后一列)表示甲5时做60个零件，则每时做(60÷5=)12(个)零件，从而知道乙每时做的零件个数为：(213-12×11)÷9=9(个)

　　这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向(至少有一列递减)推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。

　例3 某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元?

　　解 把已知条件写成两列：

　　苹果3 4

　　雪梨5 2

　　价值 22.50 16.00

　　横着从左往右推理，第一列为

　　……推不出零;第二列为

→……也推不出零。因此，考虑从右往左推理(已知条件为右边的两列)。

　　

　　这里，左边的第一竖列(推出的)表示14千克雪梨42.00元，则每千克雪梨价格为(42.00÷14=)3.00(元)，所以，每千克苹果的价格为：(16.00-3.00×2)÷4=2.50(元)。

　　最后需要说明的是，这种数列推理的方法，虽然巧妙有趣，但并不是万能的。如果已知条件给出的数列，横着从左往右推或从右往左推都得不到某项为零时，就不能用这种方法直接推理得到结果。这时，我们就应该换一换思考角度，用其他方法来处理。

几何竞赛题的特殊解法

　　几何形体知识是小学数学的重要内容，对常规的几何题学生比较容易解答，但是对有一定难度的竞赛题，指导学生解题时，要引导学生认真地观察图形的形状、位置，抓住图形的主要特征，选择适当的方法进行分析，思考，从而找出解决问题的途径。

　　一、等量代换法

　　例1 如图1，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍。求阴影部分的面积。

　　

　　分析从所给的条件来看，不知道△ADE任何一条边及其所对应的高，因此很难直接求出△ADE的面积。只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来着手分析。由题意可知四边形DEFC为平行四边形，所以连接E、C点，△DEC的面积为平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等，可知△AED与△DEC的面积相等，而△DEC的面积等于平行四边形面积的一半，因此，△ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。问题即可解决。

　　列式：56÷2÷2=14(平方厘米)

　　二、转化法

　　

　　例2 如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。

　　如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。

　　(第三届小学生数学报竞赛决赛题)

　　分析把三角形ABF和三角形DEF分别加上四边形BCDF，那么它们分别转化成长方形ABCD和三角形BCE。根据三角形ABF比三角形DEF的面积大30平方厘米，把它们分别加上四边形BCDF后，即转化成长方形ABCD比三角形BCF的面积大30平方厘米。先求出三角形BCE的面积，根据三角形的面积和BC的长度，求出CE的长度，DE的长度即可求出。列式：(15×8-30)×2÷15-8=4(平方厘米)

　　三、假设法

　　例3 图3中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角三角形的面积为7平方厘米，那么中间三角形(阴影部分)的面积是____平方厘米。

　　

　　(1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B卷题)

　　分析因为长方形的面积为35平方厘米，不妨假设AB=5厘米，AD=7厘米，因为S△ABE=5平方厘米，所以BE=5×2÷5=2厘米，EC=7-2=5厘米，同理：DF=7×2÷5=2厘米，CF=5-2=3厘米，那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米，阴影部分面积即可求出。列式：35-(7 5 7.5)=15.5(平方厘米)

　四、巧用性质

　　例4 如图4，三角形ABC是直角三角形，已知阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积小23平方厘米，BC的长度是多少?(π=3.14)

　　(北京市第三届迎春杯数学竞赛试题)

　　

　　分析此题初看似乎无法解答，因为阴影部分(Ⅰ)、(Ⅱ)都是不规则图形，但仔细观察，不难看出，阴影(Ⅰ)是半圆的一部分，阴影(Ⅱ)是三角形ABC的一部分，根据“差不变的性质”可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别加(Ⅲ)，分别得到半圆和△ABC，它们的面积差不变，这样就可以求出三角

　　

×2÷20=18(厘米)

　　五、参数法

　　例5 将图5(a)中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积(图b)与原三角形的面积比为2∶3，已知图(b)中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为______。

　　(1988年北京市小学数学邀请赛复赛题)

　　分析图b中重叠部分是不规则的四边形，很难直接求出它的面积。从图b中可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2倍等于原三角形的面积，实线部分的面积应为空白部分面积加上1，根据这一等量关系可以列方程。设空白部分面积为x，(x 1)∶(2x 1)=2∶3，x=1。　　

　　六、用比例解

　　例6 如图6，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60厘米，CE=40厘米，DE=30厘米，AE=80厘米。问丙、丁两个三角形的面积之和是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍?(第三届华罗庚金杯赛决赛题)

　　

　　分析从图中可以看出甲、丁都在△ADC中，所以两个三角形的高相等，乙和丁都在△ABC中，所以两个三角形的高也相等。根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长之比，那么：

　　S甲∶S丁=AE∶EC=80∶40=2∶1S甲=2S丁

　　S乙∶S丁=BE∶DE=60∶30=2∶1S乙=2S丁

　　S甲 S乙=4S丁

　　S丙∶S甲=BE∶DE=60∶30=2∶1S丙=2S甲=4S丁

　　所以，(S丙 S丁)∶(S甲 S乙)

　　=(4S丁 S丁)∶(S甲 S乙)=5S丁÷4S丁

　　

合理摘录 巧妙推导

　　解答应用题要讲究方法，方法对头就能事半功倍。小学生抽象思维能力较差，往往不易弄清题中条件间的关系，条件与问题的联系，引导学生合理摘录题中数据进行分析，巧妙进行推导，就容易解决题中问题。

　　例1 把一些图书分给六年级一班的男同学，平均分给每个男同学若干本后，还剩14本，如果每人分9本，这样最后一个男同学只能得6本，六(1)班的男生有( )人。

　　分析 我们将题中的条件和问题组成的主要数量关系用式子摘录如下：

　　为了书写简便，我们用题中的关键字“书”和“男”分别表示“图书总数”和“男同学人数”，用□表示不知道的量。

　　从上面的两个数量关系式中找不到解题的突破口。不妨将两式变化，如下：

　　从这两个式子得到：

　　□×男 14=9×男-3

　　(9-□)×男=17

　　“9-□”得到的是图书的本数，应该是整数，“男”也必须是整数，而且不能为“1”。而17=17×1，因此“男”只能为17。六(1)班的男生为17人。

　　例2 有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行车吗?”司机答道：“10分钟前我超过一辆自行车。”这个人继续走10分钟，遇到自行车。已知自行车速度是步行速度的3倍，问汽车速度是步行速度的( )倍。

　　分析 这是一道行程问题，用线段图摘录题中条件，表示各数量间关系比较合适。摘录如下：

　　已知自行车的速度是步行的3倍，则在相同的时间里，自行车行的路程是步行的3倍。如果将步行10分钟的路程看作1倍的量，那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。在线段图中标出这些倍数，观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。因此，汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍，则汽车的速度是步行速度的7倍。

　例3 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，可以比原定时

10分到达乙地。那么甲乙两地相距( )千米。

　　分析 题中给的数量较多，而且数量间的关系不明显。我们根据“速度×时间=路程”这个关系式列表分析推导如下：

　　速度 × 时间 = 路程

　　原来 　　1 　　　　　　1　　　　　1

　　变化一　1 25% 　　　　① 　　　　 1

　　根据表中变化一可求出①，即现在所用时间为原时间的1÷(1 25%)

　　而变化二实际只提前10分，相差(30-10=)20(分)，这是“将速度

千米所用时间为：

　　原速度为：80÷80=1(千米)

　　甲乙两地相距为：1×120=120(千米)

表针追及问题分析

　　“时针12时整，时针和分针重合，问经过多长时间两针又重合呢?”一般可根据“1分，分针比时针多转动的角度数”和“1时，分针比时针多走的圈数”给出两种解答的方法。在此，我们用高观点来分析这道题。

　　我们把时针12时整，时针和分针重合，看作它们相距一周，也就是分针60分的距离，两针再次重合，就可以看成是分针“追赶”时针的问题。分针先走完一圈，所需时间为60分，由于分针的速度是时针速度的12倍，这时

　　针，分针又必须走完这5分的路程，而这时时针又向前走了“相当于”分针

　　分针“追上”时针，亦即两针再次重合所需的时间，就是分针走完各段所需

植树问题

　　某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？

　　解：设男生x人，女生(42-x)人。　　3x-2(42-x)=56　　3x 2x-84=56　　5x=140　　x=28　　42-x=14　　答：男生28人，女生14人

学雷锋

　　学雷锋活动中，同学们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3件，他们平均每人做好事6件。参加这次活动的小同学有多少人?

　　解：同学们共做好事240件,他们平均每人做好事6件,

　　说明他们共有240/6=40人

　　设大同学有x人，小同学有(40-x)人。

　　8x 3(40-x)=240

　　8x 120-3x=240

　　5x 120=240

　　5x=120

　　x=24

　　40-x=16

　　答：大同学有24人，小同学有16人。

有几只小虫

　　蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几只?

　　解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。

　　三种小虫共18只，得：

　　x y z=18……a式

　　有118条腿，得：

　　8x 6y 6z=118……b式

　　有20对翅膀，得：

　　2y z=20……c式

　　将b式-6*a式，得：

　　8x 6y 6z-6(x y z)=118-6*18

　　2x=10

　　x=5

　　蜘蛛有5只，

　　则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

　　再将z化为(13-y)只。

　　再代入c式，得：

　　2y 13-y=20

　　y=7

　　蜻蜓有7只。

　　蝉有18-5-7=6只。

　　答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。

鸡兔同笼

　　笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原有兔、鸡各多少只?

　　解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。

　　(100-92)/2=4只，

　　兔子比鸡多4只。

　　去掉4只兔子4*4=16只脚，100-16=84只脚是同样兔子和鸡的脚

　　84/6=14是鸡的数量

　　14 4=18是兔子的数量

　　答：兔子有18只，鸡有14只。

汽车行驶

　　1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时?

　　答案：1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。

　　60x (60 15)(7-x)=465

　　60x 525-75x=465

　　525-15x=465

　　15x=60

　　x=4

　　答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

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