高中数学牛顿莱布尼茨公式的推导（从牛顿-莱布尼兹公式推导出泰勒级数）

泰勒级数是关于函数在某个点的的级数展开。一维泰勒级数是关于一个点 的实函数的展开，由f(x)=a我们得到

如果a = 0，则扩展为著名的Maclaurin级数。

泰勒定理（实际上是格雷戈里首先发现的）指出，满足某些条件的任何函数都可以表示为泰勒级数

常见的一些泰勒级数包括

为了推导函数f(x)的泰勒级数，请注意f(x)的(n 1)导数f(n 1)从点x0到任意点x的积分为

其中f^(n) (x0)是f(x)在x0处的n阶导数，因此它是一个常数。现在第二次积分得到

f^(k) (x0)也是一个常数。第三次积分，

一直到n 1个积分，然后得到

重新排列，然后得到一维泰勒级数

这里，Rn是一个余数项,称为拉格朗日余项，由

重写重积分，然后给出

现在，根据函数g(x)的中值定理，

对于[x0,x]中的某个x*。因此，对n 1次积分就得到了结果