数学几何图形中的难题（进入数学的形状世界）

在掌握其语言、熟悉其文字之前，我们是无法读出宇宙奥秘的。宇宙是用数学语言写成的，其字母是三角形、圆形及其他几何图形，缺乏对这一切的了解，人类便无法读懂其中的一词一句，只能在黑暗的迷宫中彷徨摸索。——伽利略

1. 气泡为何是球形？

拿来一根铁丝，并将其弯成方形。蘸一下泡沫水后就开始吹气泡，那么，吹出的气泡为什么不是立方形呢？或者把铁丝弯成三角形，但为什么不会吹出一个金字塔形的气泡呢？为什么不管把铁丝弯成什么形状，最后吹出的气泡都是一个完美球形呢？原因就在于，自然是非常懒惰的，对自然而言，球形是最容易塑造的一种形状。气泡试图寻找到一种需要最少能量就能塑成的形状，而且这种能量均匀分布在表面区域。气泡中包含一定量的空气，其体积并不会随形状的改变而改变。当空气的数量一定时，球形是其中表面面积最小的一种形状。因此，球形也是使用能量最少的一种形状。

长期以来，产品制造商们一直热衷于模仿自然界的这种制造完美球形的能力。如果你正在制造滚珠轴承或枪支的子弹，那么，打造出完美球形将是一件生死攸关的事情，因为形状上的细微偏差就会造成枪支的逆火，或机器的损坏。1783 年，当一名在布里斯托尔出生的水管工威廉·瓦茨意识到他能利用自然界这种对于球形的偏爱时，对这方面的突破便发生了。

当融化的铁水从高塔的顶端向下坠落时，和气泡一样，铁水也在下落的过程中呈现出完美球形。于是，瓦茨设想，如果在塔底放一桶水，当铁水接触水面后，是否能够把这个完美球形冻结。他决定要在布里斯托尔的家中检验这一想法。麻烦是，他需要铁水的坠落距离超过 3 层楼的高度，从而为铁水提供足够多的时间供其呈现出球形。

于是，瓦茨便在他的房子顶层上又加盖了 3 层，并在每一层的地板上都留出一个小洞，从而使铁水能够顺利穿过。他本来还试图在塔顶周围增加一些城堡式的修饰，为新的建筑增添一种哥特式风格，但邻居们被这个突然出现的高塔给吓到了，使他未能如愿。不过，由于瓦茨的实验取得了空前的成功，随后，类似的塔状建筑物便如雨后春笋般涌现在英美两国的大地上。瓦茨自己的那栋建筑则一直保留到 1968年。

虽然自然界对球形如此偏爱，但是否存在其他奇怪的比球形还要高效的形状呢？对此，我们要如何确定？实际上，伟大的希腊数学家阿基米德早就最先提出，在体积相同的情况下，球形的表面面积的确是最小的。为证明这一点，阿基米德开始创建一系列公式以计算球体的表面面积和体积。

虽然计算曲面造型的体积是一项巨大挑战，但阿基米德采用了一个巧妙的方法：将球体平切成许多薄层，然后将这些薄层近似地看做圆盘。他知道如何计算圆盘的体积，用圆形表面面积乘以圆盘厚度即可。把每个不同尺寸的圆盘的体积叠加起来后，便可得出球体的近似体积。

图1 威廉·瓦茨通过对自然的巧妙利用，来制作球形滚珠轴承

图2 球体可近似地被看做由众多圆盘叠加而组成的

接下来才是最巧妙的那部分。如果把这些圆盘切得越来越薄，越来越薄，一直到无限薄为止，那么，通过上述算法便可得出该球体的准确体积。这也是数学中最早引入无限思想的例子。大约 2000年后，一种类似的技巧最终成为艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发明微积分的理论基础。

阿基米德进而又运用该方法算出了许多其他形状的体积。他还发现，当把球体放在一个同等高度的圆柱管子中时，管子内的气体体积恰好为球体体积的一半。对于这一发现，他感到由衷的骄傲和兴奋，甚至因此要求把圆柱体和它的内切球体刻在他的墓碑上。

尽管阿基米德成功地找到了一种计算球体体积和表面积的方法，但他未能证实自己的设想，即球体是自然界中最高效的形状。直到 1884年，数学发展到足够成熟的阶段，这一年，德国人赫尔曼·施瓦茨才终于证实出并不存在某种神秘形状能够在能量效率上战胜球体。

2. 如何造出世上最圆的足球？

许多运动都使用球体，如网球、曲棍球、斯诺克、足球等。尽管自然界十分擅长制造球体，但对人类来说，球体的制作却颇为棘手。这是因为，在大多数情况下，制造球体的方式都是先在平面材料上裁剪出球形，然后通过制模，或通过缝制的方式来完成工序。而在某些运动中，球体制作过程中的困难反而成为一种能够加以利用的优势。例如，一只板球是由 4 块皮质模件缝制而成的，并非真正的球形。正因为此，投手反而可以利用接缝处的不规则表面，创造出不可预测的反弹轨迹。

与此相反，乒乓球选手则要求球体必须是完美的。乒乓球是由两个赛璐珞制的半球拼接而成的，其制造方法一直不太成熟，所以每一批产品中都会有 95%以上的废品。乒乓球制造人员乐此不疲地从各种畸形球体中挑出完美球形，他们利用一个发射枪向空中射出乒乓球，形状不均匀的球会发生偏移，只有那些完美球体才能笔直地飞向前方，人们在射程的另一端把这些球收集起来。

图3 一些早期的足球设计图

那么，我们如何才能制造出完美的球体呢？在 2006年德国世界杯筹备期间，制造商就宣称他们做出了世界上最圆的足球。足球通常是用几片平面皮革缝制而成的，人类所制造的许多足球都是将自古以来探索出的各种形状进行拼贴组合而成。要了解如何制造出最匀称的足球，我们可以先来看那些使用单一对称形状的皮革制造出来的“球”，这些对称形状的皮革经过特别排列后，要使最终成形的球体形状是匀称的。为使足球尽可能地匀称，每个顶点所连接的面的数量都应该是相同的。实际上，这些形状就是柏拉图在他于公元前 360年编著的《蒂迈欧篇》（Timaeus）中探索的形状。

那么，柏拉图探索出的足球都有哪些不同的可能性呢？其中一个使用最少组件的足球是通过把 4 个等边三角形缝制在一起，从而构造出 1个以三角形为底面的金字塔形四面体。但是，这不是一个很好踢的足球，因为这样的足球表面数量太少。我们将在第 3 章中讲到，虽然这种形状进不了足球场，但是，它确实在古代世界中占据了重要位置。

另一个形状则是立方体，由 6 面方形材料制作而成。乍一看去，这种形状对于足球运动来说恐怕是太过稳定了，但实际上，许多早期的足球都采用了这种结构。在 1930年举办的第一届世界杯上使用的足球就是由 12个长方形长条分成六组缝制而成的，看上去就像是在组装一个立方体。位于英格兰北部普勒斯顿的国家足球博物馆中便陈列着这样一只足球，只是现在看来，它非常干瘪而且不够匀称。20世纪 30年代还使用了另外一种相当不同寻常的足球，它同样是建立在立方体结构之上的，但是，却由 6片 H形材料巧妙穿插缝制而成。

现在，我们再回头看看等边三角形。将 8 个这样的三角形对称组装起来便可构成 1 个八面体，其形状就像 2 个正方形底面金字塔拼贴起来的样子。一旦它们被完全地拼贴在一起后，我们便无法判断出接缝的位置。

如果柏拉图使用的表面越多，那么，他做出的足球就会越圆。八面体之后的那个图形便是用 12个五边形制成的十二面体。这种形状和一年中的 12个月份相关，而在一些出土的古代十二面体上，确实在表面刻有古人的历法。在所有柏拉图立体中，最完美的足球形状则是由 20个等边三角形所构成的二十面体。

柏拉图认为，这五种造型是非常根本的，其中的四种形状分别与构成自然界的四种古典元素相关：四面体，最尖的一种，象征着火；稳定的立方体象征着土；八面体象征着空气；而其中最圆的一种——二十面体，则象征着流水。第 5 种形状即十二面体，柏拉图决定让其代表宇宙的形状。

图4 柏拉图立体与自然的基本构成元素之间存在关联

那么到底存不存在柏拉图有可能忽视掉的第六种足球形状呢？这个问题由另外一位希腊数学家欧几里得给出了解答，他在史上最伟大的一本数学书籍中对此进行了论证，证实并不存在另外一种由单一对称形状缝制出的第六种足球，因此柏拉图的列表无法再行扩充。这本名为《几何原本》的书籍，大体上奠基了数学逻辑证明的分析艺术。数学的伟大之处就在于，它能够提供有关这个世界 100%确定的东西。而欧几里得的证明则告诉我们，眼前的这些形状就是所有可能的形状——前方没有惊喜，无需期待。

3. 阿基米德如何改进柏拉图的足球理论？

如果我们把柏拉图的 5 只足球中的某些顶点改造得更平滑，那么结果会如何呢？如果拿来 1 只二十面体的足球，将其每个顶点都削掉，那么，你应该会得到 1 只更圆的足球吧。在二十面体中，每个顶点都连接着 5 个三角形，将其削掉后，便会得到 1 个五边形。再把三角形的每个顶点都削掉后，其表面就会变成六边形，而最终得出的这个所谓的无顶二十面体，实际上就是 1970年墨西哥世界杯决赛中首次使用的，而且现在仍在使用的当代足球形状。但是，是否能通过其他各种对称材料来为下届世界杯制作出一个更圆的足球呢？

公元前 3 世纪，希腊数学家阿基米德尝试改进柏拉图设计的足球形状。一开始，他选择使用两种或多种不同形状的原料来充当足球表面。由于每个表面都需要严丝合缝，因此每个表面的边长必须一模一样。只有这样，边与边之间才能做到完美对接。同时，他希望实现尽可能多的对称，因此每一个顶点——即面与面相遇的角——的形状也必须一模一样。如果 2 个三角形和 2 个正方形在其中的 1 个顶点相遇，那么，所有其他顶点的构造也必须如此。

阿基米德时时刻刻都沉浸在几何世界中。即使当他的仆人努力地把不情愿的阿基米德从数学世界中拉出来送去沐浴时，他依然会用手指蘸点儿烟囱的灰烬或油在光着的身子上画下几何图案。希腊历史学家普鲁塔克曾如此形容：“他在研究几何时所获得的愉悦使其忘记自我，从而陷入一种迷醉的境界。”

正是在这些几何禅定中，阿基米德才发现了对最佳足球形状的完整分类，并找到 13种不同的方式，将这些形状组合起来。但是，阿基米德用来记录这些形状的手稿并没有保存下来。在 500 年后的亚历山大学派最后一位数学大师帕普斯的作品中，我们才看到有关这 13种形状的发现的记录。这些形状被称为阿基米德立体（半正多面体）。

他创造的有些形状是通过修剪柏拉图的立体形状而得来的，制作过程和制作古典足球一样。比如，切掉四面体的 4 个顶点，原来的三角形表面就变成了六边形，而切割暴露出来的 4 个表面则变成 4 个新的三角形。因此，4个六边形和 4个三角形组合起来便构成一个所谓的去顶四面体（如图5所示）。

图5

实际上，在 13个阿基米德立体中，共有 7个可以通过切割柏拉图的立体得出，包括由五边形和六边形所组成的经典足球。此外，更了不起的则是阿基米德还发现了其他形状。比如，可以将 30个正方形、20个六边形和 12个十边形组合起来构成一个匀称的球体，即伟大的小斜方截半二十面体（如图6所示）。

图6

2006年德国世界杯首发的新型“时代精神”足球正是建立在其中的一款阿基米德立体之上的，这也是有史以来最圆的足球。这个由 14个曲面材料所构成的足球的基本结构其实就是 1 个去顶八面体。把 1 个由 8个等边三角形构成的八面体的 6 个顶点切掉后，原来的 8 个三角形就变成了六边形，而 6个顶点则被 6个正方形所取代（如图7所示）。

图7

或许在以后的某届世界杯上，人们将推出阿基米德立体中一个更加奇异的形状。如果是我，我会选那个扭棱十二面体，该立体由 92个对称组件（包括 12个五边形和 80个等边三角形）组合而成（如图8所示）。

图8

即使在生命的最后时刻，阿基米德惦记的也只有数学。公元前 212年，罗马人入侵阿基米德的家乡锡拉库扎。阿基米德当时正全神贯注地求解一个数学难题，他聚精会神地画着图表，完全没有注意到他所在的这个城市已经沦陷。当一名罗马士兵挥着刀剑闯进他的房间时，阿基米德请求他，在杀他之前至少要让他完成眼下的运算。他哭着哀求道：“我怎么能留下半途而废的工作就离开人世呢？”显然这名士兵并没有足够的耐心等着他解开这个难题，直接了结了阿基米德的生命。

本文节选自《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》

《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》

本书是作者在一系列针对青少年的数学普及讲座内容基础上汇集整理的一本数学科普书，介绍了一些数学中很有神秘色彩的知识，内容浅显易懂，语言生动活泼，很容易激发读者尤其是青少年读者了解数学的兴趣。

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