高中数学最简单的是集合（三十一高中数学之）

一、集合

1、集合的概念：

把某些确定的对象看成是一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C······表示。

2、元素的概念：

集合中每个确定的对象叫做这个集合的元素，集合中的每个元素都属于这个集合，用“∈”表示。元素通常用小写字母a、b、c······表示。

例如：a为集合A中一元素，则a与A的关系可以表示为a∈A等等。

3、集合的三个特性：

①确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象可能是这个集合中的元素，也可能不是这个集合中的元素，这是最基本的特性。

②互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的（即互不相同的），相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素。

③无序性：在一个集合中，通常不考虑它的元素之间的顺序。

例如：集合{1，2，3}和集合{1、3、2}是相等的，即：{1，2，3}={1、3、2}等等。

4、常用数集：

①自然数（非负整数）集：0、1、2、3········，记作N。

②正整数（正自然数）集：1、2、3··········，记作N*或N 。

③整数集：··············-2、-1、0、1、2··············，记作Z。

④有理数集：整数和分数，记作Q。

⑤实数集：有理数和无理数，记作R。

5、集合的分类（按照元素个数分）：

①空集（0个）：不含任一元素的集合，记作∅。

②有限集（有限个）：例如：集合{1，2，3}等等。

③无限集（无限个）：例如：集合N、Z、Q、R等等。

6、集合的表示方法：

①列举法：当集合中元素不多时，我们常常把集合的元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合。

例如：集合{1，2，3，4}等等。

②性质描述法：当集合中元素较多时，使用列举法把集合的元素一一列举出来则会相对麻烦。给定x的取值集合q，如果属于集合A的任一元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p（x）叫做集合A的特征性质。集合A用其特征性质p（x）可以描述为：{x∈q|p（x）}，它表示集合A是由集合q中具有性质p（x）的所有元素所构成的。

例如：集合{1，2，3}用性质描述法可以表示为{x|1≤x＜4且x∈Z}等等。

7、子集：如果集合B中的元素都是集合A中的元素，那么我们把集合B叫做集合A的子集。用”⊆/⊇“表示。

例如：集合{1，2}的子集为：∅、{1}、{2}、{1，2}，则有{1}⊆{1，2}等等。

相等集合：如果两个集合中的元素分别相等，那么这两个集合相等。它们的元素和与积也分别相等。即：A⊆B，B⊆A⇔A=B。

当一个集合中元素的个数为0、1、2、3········时，子集的个数分别有1、2、4、8········，通过观察我们可以得出子集个数与集合元素个数之间的关系为：如果集合A有n个元素时，子集个数有2^n（n∈N）个。

在任何非空集合中，如果集合有n个元素时，子集有2^n（n∈N）个，那么，含m个元素的子集有2^n-2^（n-m）（m≤n且m、n∈N ）个【此公式可以理解为由（n个元素的集合的子集）减去（n个元素中除去m个元素的所有元素的子集）】

8、真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么我们把集合B叫做集合A的真子集。用”⊂/⊃“或“⫋/⫌”表示。

例如：集合{1，2}的真子集为：∅、{1}、{2}，则有{1}⊂{1，2}等等。

如果集合A有n个元素时，真子集个数有2^n-1（n∈N）个；非空真子集个数有2^n-2（n∈N）个。

9、交集：

（1）概念：一般地，对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。用性质描述法可以表示成：A∩B={x|x∈A且x∈B}。

（2）性质：

①A∩A=A

②A∩∅=∅

③A∩U=A（U为给定对象的全集）

④A∩B=B∩A

⑤A⊆B⇔A∩B=A

10、并集：

（1）概念：一般地，对于两个给定的集合A、B，由所有属于A或属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。用性质描述法可以表示成：A∪B={x|x∈A或x∈B}。

（2）性质：

①A∪A=A

②A∪∅=A

③A∪U=U（U为给定对象的全集）

④A∪B=B∪A

⑤A⊆B⇔A∪B=B

⑥A∩B⊆A⊆A∪B，A∩B⊆B⊆A∪B（A≠∅且B≠∅）

11、补集：

（1）概念：如果集合A是全集U的子集，那么由U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在U中的补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”。用性质描述法可以表示成：CuA={x|x∉A且x∈U}。

（2）性质：

①CuA∪A=U

②Cu（CuA）=A

③（CuA）∩A=∅

④Cu（A∪B）=CuA∩CuB

⑤CuA（A∩B）=CuA∪CuB

⑥Card（A∪B）=Card（A） Card（B）-Card（A∩B）(“Card”为集合中元素的个数)

12、空集：

（1）概念：不含任一元素的集合，记作∅。

（2）性质：

①空集是任何集合的子集。

②空集是任何非空集合的真子集。

③空集只有一个子集，就是它本身。

二、简易逻辑

1、命题：用语言、符号或式子表达，可以判断真假的陈述句。

判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题。

2、充分条件、必要条件、充要条件

①充分条件：“如果p则q”是真命题且“如果q则p”是假命题时，我们就说由p可推出q，称p是q的充分条件，记作p⇒q。

②必要条件：“如果p则q”是假命题且“如果q则p”是真命题时，我们就说由q可推出p，称p是q的必要条件，记作p⇐q。

③充要条件：“如果p则q”是真命题且“如果q则p”是真命题时，我们就说由p可推出q且由q可推出p，称p是q的必要条件，记作p⇔q。

3、①存在量词命题（特称命题）p：∃x∈A，p（x)；它的否定是⇁p：∀x∈A，⇁p（x）。

②全称量词命题（全称命题）q：∀x∈A，q（x)；它的否定是⇁q：∃x∈A，⇁q（x）。

4、逆否命题：

概念：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定 ，则这两个命题称互为逆否命题。

①原命题：如果p，则q。

②逆命题：如果q，则p。

③否命题：如果⇁p，则⇁q。

④逆否命题：如果⇁q，则⇁p。

思考问题需要逻辑思维

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