简谐振动的数学表现（简谐振动及其表示方法）

大楼阻尼器的摆动

上图为台湾101大楼内阻尼器。因为高空强风及台风吹拂造成的摇晃．大楼内设置了“调质阻尼器”，就是在88至92楼挂置一个重达660公吨的巨大钢球，利用摆动来减缓建筑物的晃动幅度

1.简谐振动的运动参量及特征

简谐振动是指系统的运动参量（位移、速度、加速度）按照时间的正弦或余弦函数规律变化的振动，是最简单而又最重要的一种周期振动，如使用余弦函数表达，则简谐振动的位移数学表达式为：

式中的振幅和初相位均由初始条件确定。对位移关于时间求一阶导数和二阶导数，分别得到简谐振动的速度和加速度表达式：

比较以上三式，不难看出简谐振动有以下运动学特征：

（1）简谐振动的速度、加速度、位移也是简谐函数，且简谐函数具有相同的频率；

（2）速度 的相位较位移的相位超前π/2，加速度相位较位移相位超前π；

（3）加速度与位移恒成正比而方向相反，比例系数为圆频率的平方。

简谐运动的位移、速度、加速度时程曲线如下图：

2.简谐振动的矢量表示法

简谐振动可以用旋转的矢量在坐标上的投影来表示，如下图，矢量以等角度逆时针旋转，其模量为A；矢量起始位置与水平周夹角为，任意时刻与水平周夹角为ωt 。此时，旋转矢量在坐标上的投影为简谐函数，如在纵坐标投影为：

而水平坐标投影为：

与简谐振动方程①比较可见，

旋转矢量的模A正是简谐振动的振幅X，

旋转矢量的角速度是简谐振动的圆频率ω，

旋转矢量与水平轴的夹角是简谐振动的相位角

3.简谐振动的复数表示方法

简谐振动也可以用复数表示，

Z=A(cosθ isinθ) ⑥

可见，复矢量的虚部与实部均为简谐函数，即

根据欧拉公式

简谐振动可用复数表示为

为方便起见，在振动分析中通常将式⑧中的虚部或实部符号省略，这样简谐振动的复数表达式可以写成：

将幅角表达式代入，变为

复变函数以指数形式运算，通常比较简便。假设已知两个复变函数为：

则这两个复变函数的乘积、商和乘方法则如下：

简谐振动若采用复数指数的表达式，通常会给分析运算带来极大的方便。

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