数据的频数分析（Science漫谈双数态）

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近日，清华大学物理系由尤力老师和郑盟锟老师领导的一个实验在制备一种多粒子量子纠缠态--双数态上取得重大突破，相关论文已发表于期刊《Science》。本文将以这一发现为引，介绍精密测量和双数态制备的相关知识。文末点击“阅读原文”可下载论文PDF。

认识的边界——精密测量的极限

精密测量对于认识新物理、军事应用、日常应用都有着重要的意义。例如引力波的探测进一步验证了广义相对论理论，对重力加速度的精确测量技术可以用来探矿，精密的时间测量与准确的GPS定位息息相关。

那么测量的极限在哪里呢？例如我们想要测量一段距离的长度，首先想到的测量工具是尺子，但是我们知道尺子的精度在毫米量级，更精确的测量需要更精密的测量工具——干涉仪，这是目前最精确的测量工具之一。

图1: Mach-Zehnder干涉仪原理图

图1是Mach-Zehnder干涉仪的原理图，光子在经过第一个分束器后，既有可能沿着上面的路径传播，也有可能沿着下面的路径传播，光子在传播过程会积累一个和路径有关的相位，ϕ表示两条路径之间的相位差 (跟我们的待测物理量有关)，它的大小会影响光子在第二个分束器处的输出。比如，当ϕ为0时，光子将从C口出；而如果ϕ为π，则光子从D口出。当ϕ介于二者之间时，光子从C口出现的概率为cos²(ϕ/2)， 从D口出现的概率为sin²(ϕ/2)。 因此我们可以通过测量输出端的光子数来估计相位的大小，进而估算待测的物理量。假如，在一次实验里我们只输入一个光子，那么这个光子要么在C口输出，要么在D口输出。这样的话，我们很难准确地判断ϕ的值，因此测量的误差就会很大。假如我们重复做N次实验，并对这N次实验的输出结果做统计，显然C口的平均光子数将为率为Ncos²(ϕ/2)，而D口的平均光子数将为率为Nsin²(ϕ/2). 这样我们就可以通过测量C口或D口的平均光子数较为准确地估算ϕ的值，相应的测量误差约为1/√N，这就是所谓的测量精度的经典界限，也叫标准量子极限。那么，这个极限是不是不可突破呢？并不是。前面提到的N次独立的实验其实等效于在一次实验中输入N个独立的光子。如果我们在粒子间引入纠缠，是可以实现突破经典极限的。

那么，什么是粒子之间的纠缠呢？简单来说，当粒子的状态相互依赖时，我们说粒子之间存在关联，而量子纯态之间的关联就是纠缠。比如，在前面的例子中，光子经过第一个分束器后有两种路径的选择。假如N个光子依次经过分束器，如果输入的光子是相互独立的，那么后一个光子如何选择路径和前一个光子的选择没有关系。反之，如果光子之间存在纠缠，那么结果就会大大不同。假设，光子之间存在一种纠缠，它使所有的光子的选择保持一致。也就是说如果第一个光子选择了第一条路径，那么后面所有的光子都不得不选择同样的路径。这样，在经过第一个分束器以后，结果只可能有两种：要么所有的光子都选择第一条路径，要么所有的光子都选择第二条路径。这两种可能的结果之间相差一个相位Nϕ，比单个光子的实验信号放大了N倍。对于这种情况，我们可以获得的测量精度将会达到海森堡极限1/N，比标准量子极限的精度提高了√N倍。除了上面所说的这种纠缠，粒子之间还可能存在其他形式的纠缠。即，粒子之间的纠缠关系是多种多样，非常复杂的。关于纠缠的分类和定量对比是至今还没有完全解决的一个基本问题。而不同的纠缠量子态所能提供的测量精度也各不相同。

为了更形象的理解纠缠对测量精度的影响，我们可以把上面所说的干涉过程表示为Bloch球上量子态的转动 (图2)，转动前的量子态表示为赤道上的蓝色阴影区域，相位ϕ对应于量子态绕y方向的转动角度。从图中可以看出，转动后的态在球上的位置反映了相位的大小。测量的精度由阴影区域在z方向的展宽和球的半径 (正比于总粒子数N) 决定。展宽越小，半径越大，则测量精度越高。因此，粒子数越多，球的半径越大，测量精度越高。在总粒子数固定的情况下，量子态对应的展宽越小，测量精度越高。图2(a)对应于N个粒子相互独立的经典态情况，相应的测量极限即为前面所说的标准量子极限。图2(b)对应于N个粒子之间存在某种纠缠的量子态。它在z方向的展宽相对于经典态更小，因此被形象地称为压缩态，利用这种量子态就可以打破标准量子极限。图2(c)给出了另一种纠缠量子态的情况，我们可以把它理解为压缩态的极限，它能提供的测量精度接近于海森堡极限。由于这种量子态在两个模式上的粒子数相等，因此被形象地称为双数态。下面，我们将要讲述如何制备双数态。

图2: Ramsey干涉仪在Bloch球上的表示，(a) (b) (c) 分别对应于输入量子态为相干态，自旋压缩态和双数态。

好事多磨——制备双数态的困难

尽管双数态听起来简单，但是制备并不容易，因为需要保证两个模式上的粒子数精确相等。所幸的是，玻色爱因斯坦凝聚体中的自旋交换相互作用可以用来制备这样的态。比如，对于自旋为1的原子，它在磁场方向的角动量的大小可以是-1，0和 1，当原子处于合适的磁场下，两个自旋角动量为0的粒子可以发生自旋交换碰撞，其中一个原子获得一个正的自旋角动量，另一个原子获得一个负的自旋角动量。因为角动量守恒，跑到 1态的原子数总是等于-1态的原子数，这样这两个模式上的原子就形成了一个双数态。 在很长一段时间里，物理学家们通过基于自旋交换的自旋混合动力学的方法来产生双数态。但是动力学演化的方法并不稳定，转化到 1和-1态上的总粒子数涨落很大。因此，若要通过这种方法获得在特定范围的总粒子数的双数态，我们不得不进行多次实验，然后选择满足条件的数据。这就使得实际应用时，不得不抛弃大量数据，这大大影响了这种方案的实用性。

新突破--利用量子相变制备双数态

清华大学的冷原子实验组创新性地利用量子相变制备双数态，成功克服了上述问题。所谓量子相变，可以与经典相变类比。我们都知道，水有三种状态：水蒸汽、液态水和冰。当我们改变外界温度时，它就可以从一种状态 (相) 转变到另一种状态 (相)，即发生了相变。量子相变是发生在零温下的一种相变行为。一个量子体系也有很多种相，当我们改变体系中的相互作用强度时，可以诱导系统发生量子相变。在自旋1，总磁化为0的量子系统里，基态随着单原子内态的二阶塞曼能移 (q)和凝聚体中自旋交换相互作用强度 (c2) 的相对大小，依次出现Polar (P)，Broken-axis symmetry (BA)，和Twin-Fock (TF) 相，由两个量子相变点 (q = ±2|c2|) 分隔开 (图3)。

图3: 自旋1的BEC的基态取决于单原子内态的二阶塞曼能移 (q) 和凝聚体中的自旋交换相互作用强度 (c2) 的相对大小，依次出现Polar (P)，Broken-axis symmetry (BA)，和Twin-Fock (TF) 相。

P相的基态对应于所有原子都处于能量较低的无磁态 (F=1, mF=0)，实验上很容易制备。而在TF相中，(F=1, mF=0) 的能量较高，自旋交换相互作用使得原子趋于平均分布在磁矩相反的 (F=1, mF= 1) 和 (F=1, mF=-1)上，即我们想要制备的双数态。那么如何让系统从一个实验上很容易制备的初态 (P相的基态) 演化成我们想要制备的纠缠态 (TF相的基态) 呢？为了回答这个问题，我们先来考虑一个现实生活中的例子。假设一个人手上端着一个放着乒乓球的碗，现在我们要求他把球从A地送到B地，同时保证在这个过程中球一直呆在碗底不动。那么他该怎么办？相信大家都知道，只要他端着碗走得足够得慢，总是可以完成任务的。量子世界里有一个定理描述了类似的现象，叫绝热定理。清华大学的实验小组巧妙地利用这个定理，解决了双数态的制备问题。简单来说，从P相的基态出发，通过足够缓慢地改变q将系统从P相扫到TF相，经过自旋交换碰撞，基态将最终演化为双数态。实验的基本原理就是这样。不过，由于凝聚体具有有限的寿命我们并不能像理论上要求的那样，让体系“足够缓慢”的变化，体系中会有很多粒子离开系统基态，到达激发态。尽管如此，他们通过实验测量发现利用这种量子相变进行双数态的制备，转换效率高达96%，而且十分稳定。这是因为受到不同量子相中接近基态的低能激发态的不同纠缠结构的保护，即使实验中不能很好的维持绝热调控，高度纠缠的双数态也能很好的制备出来。

未来与展望

利用量子相变制备多粒子的双数态为纠缠态的制备提供了新思路，未来我们或许可以通过量子相变的方法产生各种各样的纠缠态。目前，量子计量领域的科学家们正在致力于将目前尚处于原理验证阶段的自旋压缩态和双数态引入到实际的精密测量中。如果这个梦想得以实现，它将会是物理测量的一次划时代的变革。它有望把所需的测量时间缩短几个数量级，人们将能够在更短的时间内看的更准确。也许新的未知物理将由此诞生。