二进制数常用公式（数学中的二进制和其应用）

二进制与计算机事物的多少或者顺序，我们可以用一种称为“数”的符号来表示。事物的数量是无穷的，我们却不可能创造无数个符号。为了解决这个难题，人们创造了进位制（又叫做位值制），这样就可以用几个有限的符号，来表达无穷的数量了。

进位制是人类计数史上最伟大的创造之一。现在国际通用的主要进位制有十进制、二进制、二十进制和六十进制。其中的二进制是计算机通用的进位制。

中国古人很早就开始使用十进制的计数方法，其数字符号有：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿、兆等。此外，还有与中国的传统思想、文化和生活有密切关系的符号体系——天干、地支和八卦。

《伏羲之先天八卦图》

古人用天干和地支表示顺序、计时和纪年，天干有10个符号：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 。地支也就是我们所说的属相，有12个动物作为符号：子（鼠）、丑（牛）、 寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇 ）、午（马）、未（羊）、申（猴 ）、酉（ 鸡）、 戌（狗）、亥（猪）。

八卦或许是最古老和神秘的符号，是中国所独有的一种符号体系。据传说，在上古时代，伏羲“仰观天文，俯察地理”，他发现世间万事万物，皆阴阳相生相克，而作八卦。其实，八卦是中国古时候人们记录卜筮结果的符号，其基本结构成分是形似卜筮工具蓍草的“爻”，一个爻有“阳”和“阴”两种形态，三个爻放在一起就组成一个“卦”，所以总共有23=8种卦，称为八卦。八卦出现时还没有文字，因此起初卦没有名称。

文字出现以后，为了便于使用，人们又补上了卦名：乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤。把八卦两两重叠就组成了六十四卦。算卦的人就用六十四卦来预测凶吉福祸，解释世间的万事万物。流传至今的《周易》就是一部专门解释六十四卦的古书，它是由孔子和他的弟子整理而成的。

《周易》六十四卦图

二进制由1和0排列而成，与十进制一样，它也能表示任何整数。如若把阳爻当作“1”，把阴爻当作“0”，八卦则可与3位二进制相对应，而六十四卦则可与6位二进制相对应。

1679年，德国哲学家、数学家莱布尼茨写了一篇《二进制算术》，对二进制及其运算首次给出了比较完整的描述。后来，他拜访一位曾经到过中国的欧洲传教士，了解了中国的周易八卦，他对其与二进制数的相似之处极为惊叹。八卦是利用符号的二元形态来表示事物，这一点与二进制颇为相同，因此说，八卦是古代中国人提出的二进制思想。

1678年，德国著名数学家布莱尼茨发明了计算机，为了满足计算机的需要，他引入了二进制。二进制是最为简单的进位制，仅有1和0两个基本符号，运用二进制，逢2进1，与其他进位制相比较，同样一个数，二进制位数比较多。例如，十进制的2对应二进制的10；十进制的4对应二进制的100；十进制的5对应二进制的101；十进制的10对应二进制的1010；十进制的37对应二进制的100101等等。

用二进制表示的数字，虽然位数比较多，看起来还不够直观，但计算时却非常简单，其加法和乘法公式分别仅有4条，而十进制中相应的公式则有100多条。二进制的加法公式为：

从以上的介绍可以看出，二进制的符号较少，运算较简单，所以莱布尼茨在自己发明的计算机上就采用了二进制。现在的计算机上依然采用二进制，除了上述原因，另外一种原因是，在计算机上，两种截然相反状态的现象是大量存在的，比如电路的通电与断电，电容器的充电与放电等，这些均可以用二进制的两个符号1和0来表示。例如计算机电路的接通用1表示，断开用0表示。