怎样解释加法交换律（为什么加法有交换律）

A QUARK

扯闲篇儿

上周我们讲了皮亚诺公理，这周继续讲讲加法交换律

数学归纳法

数学归纳法就是皮亚诺第五公理，它是这么写的

公理5：假定P(n)是自然数的一个性质，如果P(0)是对的，且假定P(n)是正确的，则P(n')也是真的，那么命题对所有自然数都为真。

为什么可以这么说呢，根据前几个公理，自然数是以0为起点，一个接一个的。如果假定n有某个性质时，可证n'也有此性质。能证明0有这个性质，那么就可以证明0'也有此性质，0''也有，0'''也有，就能证明所以自然数都有这一性质。

2

开始证明之前，回顾一下我们对于加法的定义：

定义加法是满足以下两种规则的运算：

1. 对于任意自然数m，0 m = m

2. 对于任意自然数m和n，n' m = (n m)'

与大上周一样，

这次的证明也分

一，证明：

对自然数m，m 0=m

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我们还并不知道加法交换律。我们可以用数学归纳

∵0 m=m；0是自然数

∴0 0=0

现假定n 0=n

根据加法定义

n' 0=（n 0）'=n'

∴对任意自然数m，均有m 0=m

证毕

二，证明：

对任意自然数n和m，n m'=（n m）'

依然用数学归纳法

对n进行归纳，当n=0时

根据加法定义

0 m'=（0 m）'

假定n m'=（n m）'，

求证n' m'=（n' m）'

根据加法定义

n' m'=(n m')'=[（n m）']'

（n' m）'=[（n m）']'

∴n' m'=（n' m）'

证毕

三，证明：

对任意自然数n和m，n m=m n

对n进行归纳，

首先考虑当n=0时，

0 m=m，m 0=m

∴0 m=m 0成立，

假设n m=m n成立

求证：（n'） m=m （n'）

∵n m=m n

（假设）

∴（m n）‘=（n m）’

（皮亚诺公理4）

∵n‘ m=（n m）’

(加法定义)

m n‘=（m n）’

（证明2）

∴n‘ m=m n’

∴对任意自然数n、m，均有n m=m n

证毕

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