六年级下册数学圆柱与圆锥王老师（小学数学人教版六年级下圆柱与圆锥学案）

教材分析：

本单元的主要内容有：圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积，圆柱体积和圆锥的体积。整个单元分圆柱和圆锥2个小节编排。其中，第一小节圆柱，具体又分为三个层次：第一层次，让学生结合实物探索圆柱的特征；第二层次，引导学生探索圆柱表面积的计算方法（探索圆柱侧面积的计算方法作为教学的一个重点）；第三层次，引导学生探索圆柱的体积计算公式。第二小节圆锥的编排，除暂不探索圆锥侧面积的计算方法外，其他编排和圆柱编排相似。主要分两个层次进行安排：第一层次，通过观察、比较、测量、交流等活动，探索圆锥的特征；第二层次，探究圆锥与圆柱体积之间的关系，归纳得出圆锥体积的计算公式。

一、与实验教材的主要区别

本单元教学内容的编排，基本沿用了实验教材的结构，无论是结构还是具体内容，变动都不是很大。具体变动之处主要有以下几个方面。第一，在学完圆柱的体积计算之后，教材新编了一道“解决实际问题”的例题（例7）。在这里，学生要解决一个非常规问题，很具有挑战性，并非简单的套用公式就可以解决，需要通过自主探究和教师的有效指导，共同找到“把瓶子倒置”这一解决问题的关键。特别值得一提的是，我们的教学目标不仅是解决这一具体的问题，更重要的是在这一过程中提高学生的问题意识，激发学生的探究欲望，在探究的过程中理解和掌握转化的思想，体会转化的实质是“变中有不变”。即通过这一例题的教学，使学生真正经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的完整过程，同时进一步发展解决问题的能力，体会并理解其中蕴含的数学思想。第二，在有些例题习题编写中做了适当的删减。例如，在例5探索圆柱体积一例中，教材增编了两处小精灵的提问，再将圆柱分割拼成近似的长方体后，增编“把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？”这一问题，继而在得出文字计算公示后，进一步提问“如果知道圆柱的底面半径r和高h,你能写出圆柱的体积公式吗？”显然，教材经过改动后，更有利于教师充分地发挥其指导作用，也更有利学生有的放矢地进行自主探究学习，为学生的“真探究”提供了良好的研究平台。由于篇幅关系，其余的不一一列举，请老师在教学过程中仔细比较实验教材与新教材的异同，并仔细斟酌分析编者意图，以更好地理解把握教学目标。

二、教材例题分析

（一）圆柱

本小节包括三部分内容：圆柱的认识、圆柱的表面积和体积。在第一学段直观认识圆柱的基础上，本节教材从特征、表面积、体积三方面进一步丰富学生对圆柱的认识。

教材在教学例1之前，先安排了《圆柱的认识》，在这一层次的教学中，教材遵循一般概念教学的认知过程，并在编排中充分考虑如何借助学生原有知识经验来展开学习。首先，教材呈现了现实生活中的圆柱形建筑物和生活用品，让学生观察。同时提出问题“这些物体的形状有什么共同特点？”引导学生思考。其次，从众多圆柱体实物中抽象出圆柱的一般性直观模型，给出这一模型的名称，使学生对圆柱的认识经历由具体到表象的抽象过程。最后让学生说说生活中还见到过哪些圆柱形的物体，丰富学生头脑中圆柱形象的储备，把抽象的“圆柱”具体化，同时让学生感受生活中圆柱的运用是非常广泛的。

例1．圆柱的组成及其特征。在引导学生观察圆柱形实物的基础之上，认识圆柱的底面、侧面和高。接着组织学生对圆柱的观察、触摸以及交流讨论，了解圆柱的特征。为后继学习圆柱表面积、体积做准备。在探究圆柱的特征之后，教材还安排了一个有趣的活动：拿一张长方形硬纸，在某一边贴上一小棒，快速转动小棒，看转出来的是什么形状。使学生从旋转的角度认识圆柱，使学生看到长方形的长、宽与圆柱的底面半径、高之间的关系，并感受平面图形与立体图形的转换。

例2．认识圆柱侧面展开图。教材的编写以围绕三个层次分明，前后紧密相连的三个问题而展开。首先让学生猜想：圆柱的侧面展开后是什么形状？引导学生动手实践，自主探究，发现得出圆柱侧面是一个长方形。之后，在问题“这个长方形的长、宽与圆柱有什么联系？”“把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么？”等的引领下，进一步激发学生探究的欲望，学生通过操作、验证、比较等，进一步发现长方形的长、宽与圆柱的底面周长、高之间的关系，实现平面与曲面之间的转换。显然，教材的编写充分体现了让学生自主探究的学习过程。

例3．圆柱的表面积及其计算方法。教材一开始就直接提出：圆柱的表面积指的是什么？引导学生在回忆、观察和交流中逐步理解圆柱表面积的含义。接着，教材提示并呈现以前学过的圆柱展开图，及时提出：观察上图，你能发现什么？教材借助学生对圆柱各部分组成的认识，引导学生自主探求圆柱的表面积有哪些，得出圆柱表面积=圆柱的侧面积 两个底面的面积。之后，教材依据小精灵的提问：“圆柱的侧面积你会计算吗？圆柱的底面积呢？”以进一步提示学生如何解决圆柱表面积的计算问题。针对计算过程中可能出现的困难，教材重点提示了圆柱的侧面积的计算，即实际就是求图中长方形的面积，以帮助学生将圆柱的底面半径（或直径）及圆柱的高，和圆柱侧面图形的长、宽建立联系，自行推导总结圆柱的侧面积=底面周长×高。总之，从教材整个课例的编排来看，教材的编排既十分重视新知识与已有知识的联系，又注重学生自主探求、归纳推理等能力的培养。

例4．圆柱表面积计算的应用。现实生活中有关圆柱表面积计算的情形复杂多变，需要根据具体的情况，确定求哪些面的面积之和。这对于学生来说，首要的问题是能否将现实的具体的物体抽象转化为“标准”的圆柱。如本例中的关键是学生能否将圆柱形厨师帽抽象为一个只有一个底的圆柱。尽管教材里没有直接给出，但在教学时应积极引导学生自主分析与集体交流分享，以揭示解决问题的本质，在此基础上再要去独立解答。这道题的计算结果，在取近似值时采用的是“进一法”，而非用“四舍五入”取近似值，因为只要是求所需的材料首先要考虑够用，所需的材料只可比计算结果多而不能少。

例5．圆柱体积公式的推导。教材首先从回顾旧知（长方体、正方体的体积计算）入手，引出圆柱体积的计算问题，并提出圆柱能否转化为已学过的立体图形来计算体积。如何转化？教材从将圆等分若干等份再拼成近似长方形这一原有知识经验作为思维的生长点，引导学生从平面的知识类推到立体的图形，即先将圆柱的底面分成许多相等的扇形，再把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。继而让学生想象，等分成的份数越多，拼成的形体越接近长方体。整个教学过程，通过学生的观察、操作与想象，使极限思想、转化思想有机地渗透在活动之中。紧接着，根据小精灵的提示：把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？引导学生观察与推理，得出转化前后的圆柱与长方体各部分之间的对应关系，推导出圆柱的体积计算公式的两种形式。

例6．用圆柱体积的计算公式解决实际问题。教材创设了一个生活的问题情境“这个杯子能不能装下这袋牛奶”，要解决这个问题，就先要计算杯子的容积，使学生感受计算的必要性。如何计算杯子的容积呢？教学时应设法让学生回忆先前的有关容器容积计算的一些相关知识，使学生明白容器容积计算的方法与相应立体图形的体积计算方法相同，只是要注意从容器的内部去测量相关的数值。至于具体如何应用公式计算，则可放手让学生自主选择计算方法。

例7．用圆柱体积计算公式解决问题。本例是修订版教材新增的一个问题解决例题。教材呈现了一个装了小半瓶水的矿泉水瓶，下部是圆柱形，上部是一个不规则的立体图形。给出了瓶子平置时水的高度和倒置时无水部分的高度，要求的是这个瓶子的容积。这是一个非常规数学问题，不是简单套用公式就可以解决的，但例题素材的选用更有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等诸方面的能力。教材在“阅读与理解”环节，在理解题意的基础上，提炼出“这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积”这一问题情境，促进学生进一步思考提出问题“能不能转化成圆柱呢”；“分析与解答”环节，承接前面提出的问题，引导学生通过观察，比较水瓶倒置前后的水瓶内的变化情况，发现水瓶的容积无论是倒置前后，总是瓶内水的体积与无水部分的体积。进一步发现，水瓶倒置前后，水的体积与无水部分（即空气）的体积都是不变的，并且倒置前，瓶内水的形状是一个圆柱，而倒置后，无水部分（即空气）的形状是一个圆柱，这两个圆柱的体积就是瓶子的容积。教材呈现了两种不同的表达分析结果的方式，以帮助学生更好地理解解决问题的实质。整个教学过程，学生经历了将不规则形状转化为规则形状，把未知知识转化为已学知识的过程，感受了发现过程中的“变”与“不变”，揭示了解决问题的本质。这有利于提高学生的分析问题与解决问题的能力。“回顾与反思”部分，与以前计算不规则图形体积的方法进行比较，对转化的思想和方法，适度抽象概括，有利于丰富完善学生的认知结构，提高解决问题的能力。

（二）圆锥

本小节包括圆锥的认识和体积两部分内容，是在学生学习掌握了圆和圆柱的相关知识基础之上进行教学的。

圆锥的认识，安排在例1教学之前，其编排思路与圆柱的认识基本相同，教材从展示生活中常见的圆锥形实物图入手，提出问题“这些物体的形状有什么共同的特点？”引导学生经历对圆锥概念的感知——抽象——应用等过程，建立圆锥的几何表象，给出圆锥的名称。

例1．认识圆锥的底面、侧面和高及其特征。首先，教材借助圆锥几何模型，引导学生观察认识圆锥的底面、侧面和高，并给出这些概念的定义及其主要特征。其次，着重介绍圆锥高的测量方法，并指出测量时需要注意的问题。特别地，在这个过程中要放手让学生亲手操作实践，并展开交流讨论，以获得测量高的基本活动经验使学生加深对圆锥高的认识。最后，与圆柱的认识编排相似，为加深对圆锥的认识，安排了一个快速转动自制的“三角形”，看转出来的是什么形状，从旋转的角度认识圆锥，以促进学生空间观念的发展。

例2．圆锥体积计算公式的推导。教材按引出问题——实验探究——导出公式三个层次进行编排。首先，教材提出问题“我们已经会计算圆柱的体积，如何计算圆锥的体积呢”，引导学生思考，通过寻找圆柱、圆锥的共同点：底面都是圆等等，启发学生将圆锥的体积与圆柱的体积联系起来，激发学生对两者体积之间的大小关系进行猜测、探究。教材在这一环节删除了实验教材中利用排水法测体积等有关内容，这样编排，直接揭示问题的研究对象，使得研究的问题更为清晰，学生活动探究、思考的路径也更为明确。其次，教材安排了实验探究。教材让学生准备好等底、等高的圆锥和圆柱，通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。最后，导出公式。通过实验学生发现：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。由此得出圆锥体积的计算公式。

例3．圆锥体积的计算。与原实验教材相比，本例所求问题由求体积改为求体积、求重量两个问题。因此，在教学时应特别注意合理、正确利用题目中给出的信息，弄清所求问题。通过这个例子的教学，使学生初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积有关的实际问题。

本单元的教学重点是圆柱、圆锥的认识；圆柱表面积计算、圆柱和圆锥体积计算；难点是在实践活动中发展学生的空间观念，体会有关数学思想。

同步练习：

一、填空

1．如图，把底面周长18.84 cm，高10 cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。

2．数学老师的教具里有一个圆柱和一个圆锥，老师告诉大家，圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，已知圆锥的高是12厘米。请你算一算，这个圆柱的高是（ ）厘米。

3．一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是（ ）立方厘米。

4．下图中的圆柱形杯子与圆锥形杯子的底面积相等，把圆锥形杯子装满水后倒进圆柱形杯子，至少要倒（ ）杯才能把圆柱形杯子装满。

5．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。

二、选择

1．下面各图是圆柱的展开图的是（ ）。

2．把长1.2米的圆柱形钢材按1:2:3截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（ ）。

A．560立方厘米 B．1600立方厘米 C．840立方厘米 D．980立方厘米

3．把一个圆锥的底面半径和高都扩大3倍，则它的体积扩大（ ）。

A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍

4．下列图形中体积相等的是（ ）。（单位：厘米）

A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（1）和（4） D．（3）和（4）

5．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10 cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）cm3。

A．80B．70C．60D．50

三、解答

1．如图，是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆。

（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？

（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？

（3）大棚内的空间约有多大？

2．一个圆锥形容器，底面半径是4厘米，高9厘米，将它装满水后，倒入底面积是12．56平方厘米的圆柱形容器中，水的高度是多少？

3．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居，下图中的蒙古包是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的（单位：米）。这个蒙古包占地多少？内部的空间约是多少？（得数保留整数。）

4．牙膏出口处是直径为4毫米的圆形，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，这样一支牙膏可用54次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。现在一支牙膏只能用多少次？

5．一个直角三角形，如果绕着它的一条直角边旋转，就可以形成圆锥体。如果两条直角边的长度不相等，那么，分别绕着每条直角边旋转所形成的圆柱体的形状也是不相同的。请你判断：绕着较长直角边旋转与绕着较短直角边旋转所形成的圆锥体的体积是不是一样大？如果不一样，哪种旋转方式下的体积更大一些呢？

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