阿基米德为什么不能撬动地球（致阿基米德给你一个支点）

阿基米德说过一句名言：“给我一个支点，我能撬起地球。”

这是对杠杆原理的一句诗性化的描述，在绝对理想状下才能实现的力矩平衡。

公式记作：Fa*La=Fb*Lb

Fa，重力加速度下地球质量重力，La，地球端的力臂长度，Fb，顶多是阿基米德体重重力，Lb，阿基米德端的力臂长度。

阿基米德是伟大的，但他的这句话肯定是夸大了。

估计很多人都diss过这句话。讲力矩平衡没毛病，但拿地球说事，这就玩大了。

其一，一个物体的重力，是它与地球之间的引力；而地球是悬浮在太阳系的，不存在我们所认识的那种“重力”。像上图那样，拿根大杆子杵地球上，会被地球向上吸引的。

其二，这根杠杆太长了，有好事者算出阿基米德一端的力臂需要3.822万亿亿亿公里（下图中数字），整个宇宙都装不下它！

但是，这不是本文的重点。

写这篇文章要对得起本人头条号的名字「设计劳斯基」。好歹咱也曾做过工程师的，所以要从材料力学下手。

我们仍然给阿基米德两个理想化的条件。一，地球有重力mg，且方向向下；二，他能到达他想要到达的任何地方，并且能得到一根他想要的杆子。

剩下的问题，就全在这根杠杆上了。它能不能存在？如果存在，它会是什么样的？

我们先来温习一下什么是力矩。简单的讲，力矩是作用力F与垂直作用距离L的乘积。

这一表述和弯矩是一样的。不同的是，力矩是外力矩，弯矩是内力矩。但在分析一个杆件的受力状态时，也没有区分的必要。因为外内是内力的直接源头，在一个平衡的系统里，对一点的外力矩和内力矩是相等的。

这样讲太绕了，我们看图说话。下面是阿基米德撬地球的简图：

因为整体系统是平衡的，支点处的支持力R与地球和阿基米德的重力，互为相反作用力。那么，我们将简图上下反转，视地球和阿基米德的重力分别为支撑力Ra和Rb、视支点的支撑力为向下的外力P，也是成立的。如下图：

由于Ra Rb=P，且Rb远远小于Ra，可以近似得P=Ra。地球半径取6000公里，也就是La的最小可取长度。于是，有Ra*La=Rb*Lb，这样我们可以丢掉力矩的概念，来对杠杆做内力（剪力和弯矩）分析。如下图：

支点右端的剪力太小了，可以忽略掉

在上图中，支点左端剪力Q=Ra，右端剪力Q约等于0，支点处最大弯矩M=6000Ra，弯矩和剪力的关系式：M=Q*x，x∈[0，6000]。

大多数人可能没有剪力和弯矩的概念，没关系。我们继续看图说话。我们都知道三个和尚吃水的故事，当两个和尚抬水的时候，情形大概如下图：

那么重点来了。注意到图中木棍的弯曲没有？弯曲是由水桶的重力造成的，而木棍的弯曲程度和弯矩图是对应的。我用一张夸张点的简图来得描绘一下木棍变形前后的形态。

我们来想像一下，如果木棍最终承受不了水桶的重量，放置水桶的位置的底部是不是会裂开？它的裂开，我们称作“横断面受拉破坏”。所以，在受到竖向作用力P的同时，木棍内部在水平方向上产生了拉力，形成的受拉区在木棍的下半部分。根据相互作用力原理，木棍的上半部分，会产生压力，形成一个受压区。

如果把木棍沿水平向切成无数个横断面，那每一个横断面都有一组相等的拉力和压力，但相邻两横断面是不同的。从上面的弯矩图上看，每一个横断面都对应一个弯矩值，弯矩值大小与横断面的拉（压）力大小成正比。

所以，弯矩并不是一种客观存在，它是对客观存在的、沿杆件法向、并朝向支点递增的一对力流进行的宏观状态描述。

我再来看一下支点处的微观受力状态，如下图：

在微观视角下，在一个力矩平衡系统内，对于任何一个点，它所受的合力为零。这样，我们可以阶段性地把弯矩从内力分析中拿掉，用一对相互作用的力N和T来替换，如下图：

还需要说明两点。一，压力N和拉力T的作用点位置也处在理想化的状态，正确的位置应该在受压区和受拉区的合力点上；二，这也是我们给钢筋混凝土梁配筋的计算原理，不过比这考虑的问题要复杂一些。

我们取支点处进行研究，如下图：

得到一个新的力矩平衡：Q*La=N*B，计算得，N=6000Ra/B。如果用一根抬水用的木棍作杠杆，取其直径为5cm，那这个N有多大呢？

N=6000Ra/(0.05*10^-3）=1.2*10^8Ra，1200万倍的地球重力！这么大的力，多少根木棍能受得住！我们反过来算，如果用钢筋混凝土做这根杠杆，底部配5根25的三级钢（拉力约1000吨），那它的截面高度B=6000*6*10^23/1000=3.6*10^24，折算为360万亿亿公里！三根杠杆装满整个宇宙！

注：上述代入数据可能有误，欢迎指正！

怎么办，只能再给个理想条件了，赋予这根杠杆无限强度和刚度！

那么问题来了。地球缩成8mm可以变成黑洞，然后蒸发掉。那这根杠杆从1/3个宇宙大小，收缩成一根细棍，会发生什么？如果阿基米德看到此处，给他一个支点，可能他也没兴趣去撬地球了。这个刀架脖子上仍然请求解完题再死的倔老头，一定会转向另一个问题：黑洞是什么？

写在最后的话：调侃归调侃，阿基米德这句“给我一个支点，我能撬起地球”，仍然是给予力学初学者的最好的启示！