七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)
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【知识要点】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
要点诠释:二元一次方程满足的三个条件:
(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一组解.
要点诠释:
(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值,一般用大括号联立起来,如:
.
(2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,即有无数多对数适合这个二元一次方程.
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释:组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数,例如
也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
要点诠释:
(1)二元一次方程组的解是一组数对,它必须同时满足方程组中的每一个方程,一般写成
的形式.
(2)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,
如方程组
无解,而方程组
的解有无数个.
【典型例题】
类型一、二元一次方程
【例1】已知下列方程,其中是二元一次方程的有________.
(1)2x-5=y; (2)x-1=4; (3)xy=3; (4)x y=6; (5)2x-4y=7;
(6)
;(7)
;(8)
;(9)
;(10)
.
【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验.
【答案】(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念.(2)为一元一次方程,方程中只含有一个未知数;(3)中含未知数的项的次数为2;(6)只含有一个未知数;(7)不是整式方程;(9)中未知数x的次数为2.
【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义,对于比较复杂的方程,可以先化简,再根据定义进行判断.
举一反三:
【变式】下列方程中,属于二元一次方程的有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【例2】若
是关于x、y的二元一次方程,求a的值.
【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答.
【答案与解析】
解:根据题意得:|a|-2=1,所以|a|=3,a=±3,而(a-3)x中,a-3≠0,即a≠3,所以a=-3.
【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解,要同时考虑两个未知数的系数与次数,不管方程的形式如何变化,必须满足含有两个未知数,含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件.
举一反三:
【变式1】已知方程
是二元一次方程,则m= , n= .
【答案】-2,1/4
【变式2】方程
,当
时,它是一元一次方程.
【答案】
;
类型二、二元一次方程的解
【例3】二元一次方程x-2y=1有无数多个解,下列四组值中不是该方程解的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
解:当x=0,y=-1/2时,x-2y=1,故A是原方程的解.
当x=1,y=1时,x-2y=-1,故B不是原方程的解.
当x=1,y=0时,x-2y=1,故C是原方程的解.
当x=-1,y=-1时,x-2y=1,故D是原方程的解.
【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解,只需要将这组数值代入原方程,能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解,否则,不是.
举一反三:
【变式】若方程
的一个解是
,则a= .
【答案】3
【例4】已知二元一次方程
.
(1)用含有x的代数式表示y;(2)用含有y的代数式表示x;
(3)用适当的数填空,使
是方程的解.
【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,就是把要表示的未知数当未知数,把其他的未知数当已知数,然后再将方程变形.
【答案与解析】
解:(1)将方程变形为3y=2-x/2,化y的系数为1,得
.
(2)将方程变形为
,化x的系数为1,得
.
(3)把x=-2代入
得, y=1.
【总结升华】用含x的代数式表示y,其实质表示为“y=含x的代数式”的形式.在进行方程的变形过程中,有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要.
举一反三:
【变式】已知:2x 3y=7,用关于y的代数式表示x,用关于x的代数式表示y.
【答案】
解:(1)2x=7-3y,
;(2)3y=7-2x,
【例5】写出二元一次方程
的所有正整数解.
【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数,先解关于另一个未知数的一元一次方程,当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解,写时注意按一定规律写,做到不重、不漏.
【答案与解析】
解:由原方程得
,因为
都是正整数,
所以当
时,
.
所以方程
的所有正整数解为:
,
,
,
.
【总结升华】对题意理解,要注意两点:①要正确;②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.
举一反三:
【变式1】已知二元一次方程
,下列说法不正确的是( )
A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解
C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数
【答案】D
【变式2】在方程
中,若y分别取2、1/4、0、-1、-4,求相应的x的值.
【答案】将
变形得
.
把已知
值依次代入方程的右边,计算相应值,如下表:
类型三、二元一次方程组及方程组的解
【例6】下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A,B中未知数的次数高于或低于一次,而C中出现三个未知数,只有D选项满足题意,故正确答案为D.
【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数;2、未知数的项最高次数都应是一次;3、都是整式方程”.
【例7】判断下列各组数是否是二元一次方程组
的解.
(1)
(2)
【答案与解析】
解:(1)把
代入方程①中,左边=2,右边=2,所以
是方程①的解.
把x=3,y=-5代入方程②中,左边=
,右边=-1,左边≠右边,所以
不是方程②的解.
所以
不是方程组的解.
(2)把
代入方程①中,左边=-6,右边=2,所以左边≠右边,所以
不是方程①的解,
再把
代入方程②中,左边=x y=-1,右边=-1,左边=右边,所以
是方程②的解,但由于它不是方程①的解,所以它也不是方程组的解.
【总结升华】检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
举一反三:
【变式】写出解为
的二元一次方程组.
【答案】
解:此题答案不唯一,可先任构造两个以
为解的二元一次方程,然后将它们用“{”联立即可,现举一例:
∵ x=1,y=-2,
∴ x y=1-2=-1.
2x-5y=2×1-5×(-2)=12.
∴
就是所求的一个二元一次方程组.
注:任选的两个方程,只要其对应系数不成比例,联立起来即为所求.
【例8】(淮阳)甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为
.乙看错了方程②中的b.得到方程组的解为
.试计算:
的值.
【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程,就可以求出字母的值.
【答案与解析】
解:把
代入②,得-12 b=-2,所以b=10.
把
代入①,得5a 20=15,所以a=-1,
所以
.
【总结升华】一组数是方程的解,那么它一定满足这个方程,利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值,所以在今后的学习中要会灵活运用它.
举一反三:
【变式】已知关于
的二元一次方程组
,求
.
【答案】
解:将
代入原方程组得:
,解得
, 所以
.
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