高中数学四心问题讲解（高中数学柴老师）

仅仅一个人独善其身，那实在是一种浪费。上天生上我们，是要把我们当作火炬，不是照亮自己，而是普照世界；因为我们的德行尚不能推及他人，那就等于没有一样。

——莎士比亚

这也是柴老师目前在做的工作，一项可以称之为影响他人的工作。仅仅独善其身是不够的，我想把我的数学经验，全部的总结教授给大家。最好能培养出几个满分选手。也算是我之前一个很遗憾的事情吧。四年线下经历，培养了很多高考高分选手，但始终没有人能考到满分。之所以对这个如此重视，是因为我真是在高中时期穷尽三年，无数次接近满分，不管大测小测，总是会差那么一两分，貌似只有一次，一个周末的测试上面，好像是全做对了。但是没有官方公证。直到最后高考前夕，我知道自己可以考数学考的还不错，但是不知道自己能不能冲击满分。唉，最后结果也证明了。

149，还是扣分了。真不是我不仔细，每次都极其仔细，但会有扣分点，可能真的是实力有限。如果他真是选择或者填空题的话，应该就不会扣分了。

现在回忆起来，那些追逐高中数学满分的日子，可以类比于那些我们高中时候追得到或者追不到的漂亮女生，其实现在看来她们当时也很青涩。但已经足够将那时的我们死死的吸引住。我们或大张旗鼓，或者注重一切有她的细节。那么青春的爱情和学习成绩除了相同之外，还有一些很明显的不同。那就是，你的高考成绩，无论你的过程或阴险，或心酸，或轻松。那些成绩会跟随我们一生。一旦考得好，会印在你身上一个符号。考的不高，也一样。荣誉才是硬道理，那些情感可不是。

好，说回正题。今天要讲的是三角形四心大合集。

分别为;外心，内心，重心，垂心。挨个来看。

外心：三角形外接圆的圆心，正贤定理中，a除以sinA即为外接圆直径2R.特征向量：OA=OB=OC

还有一个难的证明，咱看一下

不会的同学请评论，或者私信我。

内心：角分线交点，内切圆的圆心，到三边距离相等。

内心应用：2S=Cr （C是三角形周长）

在双曲线中：焦点三角形，内切圆圆心的横坐标，也是靠近动点那一侧的实轴端点。

特征向量：aBC bAC cAB=0

这仨都是内心中最常考的东西，知道之后会省很多时间。那个不懂得可以在下方评论。

重心，也是考的非常频繁的一个问题。三角形三边中线的交点。

特征向量 OA OB OC=0

重心坐标（（x1 x2 x3）/3，（y1 y2 y3）/3）

比例关系：1：2

垂心

三边高线的交点

掌握了这些武器，一旦能加以运用，提升十分妥妥的。

作者：柴老师

高考数学149分，哈工大本科，北京大学双学位在读。四年来帮助上千名学生高考提分三十加。