数列极限知识结构图（数列与极限相关思维图）

本来只想传思维导图的，无奈这个太小太不清晰了，只好复制一些文字现实，排版较乱，能看图的建议直接看图

数学分析

• 一，实数与数列极限
• 基础知识
• 实数的基本性质与常用不等式
• 数列与极限
• 收敛数列性质
• 发散数列与子式
• 确界原理
• 数列收敛的判别法
• 三角不等式：对∀a,b ∈R 有 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|
• 伯努利不等式：对∀n∈N ,且n≥2；∀h∈R,且h＞-1，有(1 h)和的n次方≥1 nh ；等号成立当且仅当h=0
• 对四则运算封闭
• 有序性：∀a,b ∈R, ab,三个关系中有且只有一个成立，且大小具有传递性：如a
• 阿基米德性：∀a,b ∈R, ∃n∈N ,使得na>b
• 稠密性：∀a,b ∈R, ∃c∈R ,满足a
• 连续性：表现为，全体实数与数轴上的点是一一对应的
• 实数基本性质
• 常用不等式
• 实数集R
• 自然数集N
• 整数集Z
• 有理数集Q
• 无理数集R\Q
• 正整数集N
• 区间
• 邻域
• 包括0
• 对四则运算封闭
• 对于∀x ∈Q ,都可以表示为p/q ,p∈Z ,q∈N ,且p,q互质
• (a, ∞)
• [a, ∞)
• (-∞,b)
• (-∞,b]
• (-∞, ∞)
• (a,b]
• [a,b)
• 开区间 (a,b)
• 闭区间 [a,b]
• 半开半闭区间
• 无限区间
• 不包含点a
• U(a;δ)：表示与点a的距离＜δ的实数x的全集，即{x|0<|x-a|<δ},简记U(a)
• 左半邻域U-(a)
• 右半邻域U (a) -
• 去心邻域U。(a)
• 左半去心邻域U。-(a)
• 右半去心邻域U。 (a)
• 若命题A 可以表示为若p成立，则q成立
• A的否命题为若p不成立，则q不成立
• 原命题与逆否命题等价
• 对任意给定的∀
• 存在 ∃
• 存在唯一一个 ∃!
• 等价于<=>
• 小于等于≤
• 常用记号
• 命题与否命题
• 特殊数集
• 数列与极限
• 确界原理
• 定义：按自然数1，2，3....编号依次排列的一列数：a1,a2,a3,...an...称为无穷数列，简称数列 记作{an}
• 收敛数列：有极限
• 有界数列
• 发散数列
• 无穷数列
• 性质
• 数列{an}收敛于a的 充要条件 数列{an-a}是无穷小数列
• 数列{an}收敛于a的 充要条件 数列{|an|}是无穷小数列
• 设{an}是无穷小数列，{bn}是有界数列，则{an.bn}是无穷小数列
• 无穷小数列：数列{an}，如果 lim an=0 (n->∞)
• 无穷大数列：数列{an}，如果 lim an=±∞ (n->∞)
• 偶子列：nk=2k 时，子列{a2k}是{an} 的偶子列
• 奇子列：nk=2k-1 时，子列{a2k-1}是{an} 的奇子列
• 发散判断方法
• {an}中有一个子列发散==》{an}发散
• {an}中两个收敛子列具有不同的极限==》{an}发散
• 柯西收敛否定形式：{an}发散<==>存在ε0>0，使任意N∈N ，存在n0>N ，存在p0∈N ，满足 |an0 p0 - an0|≥ε0
• 定义：{an}数列没有极限
• 精确定义：设{an}，若对任意实数a，{an}都不收敛于a，即∀a∈R，∃ε0＞0，∀N∈N ，∃n0＞N，使得|an0-a|≥ε0
• 子列：设{an}，{nk}为正整数集N 的无限子集，且n1
• 若不是有界数列，则称为无界数列
• 设数列{an}，若∃L∈R，使得an≥L对所有n∈N 成立，则称{an} 有下界的，L是一个下界
• 设数列{an}，若∃M∈R，使得an≤M对所有n∈N 成立，则称{an} 有上界的，M是一个上界
• 数列有上界
• 数列有下界
• 定义：若{an}既有上界又有下界，则称为有界数列
• 唯一性
• 有界性
• 保不等式性
• 保号性
• 四则运算法则
• 收敛数列{an}极限a只有唯一的一个
• 收敛数列一定是有界数列
• 收敛数列{an}必有界
• 一：若lim an=a ,lim bn=b，且a>b，那么存在N ∈N ，使当n>N时，有an>bn
• 二：设{an}，{bn}都收敛，如果存在正数N0，使当n>N0时，有 an≥bn，那么lim an ≥ lim bn (n-->∞)；特别地，当n＞N0时，有an≥0，则lim an≥0 (n-->∞)
• 如果lim an = a (n-->∞)，且a>0 (或a<0)，那么存在正整数N ,使当n>N时，有an>a/2>0 (或an
• 若{an}，{bn}都是收敛数列，则{an bn}，{an-bn}，{an*bn}也都是收敛数列，如bn≠0，且 lim bn ≠0,那么{an/bn}也是收敛数列
• lim(an ±bn) = lim an ± bn (n->∞)
• lim(an * bn) = lim an * lim bn (n->∞)
• lim(an / bn) = lim an / lim bn (n->∞)
• ε-N定义：设有{an}，a∈R,如果对任意ε>0，存在正整数N ,使得当n>N 时，都有|an-a|<ε.，则称{an}收敛于a，a为{an}的极限，记作 lim an = a (n-->∞)
• {an}收敛 充要条件 {an}的任何子列都收敛
• 迫敛性定理：设lim an = lim bn =a，{cn}满足：存在N0 >0 ，使得当n>N0时，有an≤cn≤bn，则{cn}收敛，且lim cn=a n—>∞
• 单调有界定理：单调有界数列==>有极限
• 柯西收敛准则：{an}收敛 <==> 任意ε>0，存在N∈N ，使当m,n>N时，总有|am-an|<ε
• 任何数列{xn}都存在单调子列
• 致密性定理：任何有界数列必有收敛子列
• 任意性
• 相对固定性
• 存在性
• 不唯一性
• N的二重性
• ε的二重性
• 收敛判断法
• 极限
• 收敛数列性质
• ai 称为项
• an 成为通项
• 数列
• 设S是非空数集，α，β∈R，则：
• α=sup S <==> 任意x∈S，都有x≤α ；存在xn∈S，满足lim xn=α n->∞
• β=inf S <==> 任意x∈S，都有x≥β ；存在xn∈S，满足lim xn=β n->∞
• 唯一性
• 存在性
• 特别地：空集 是 有界集
• S是有界数集 充要条件 存在M>0 使得 对任意 x∈S ，都有|x|≤M
• 下确界：最小的一个下界
• 1.对所有x∈S，都有x≥β，即β是S的一个下界
• 2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0<β ε,即β是S的最大下界
• β是S的下确界，记作β=inf S
• 精确定义：S是R的一个非空数集，β∈R，如果β满足：
• 上确界：最小的一个上界
• 1.对所有x∈S，都有x≤α，即α是S的一个上界
• 2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0>α-ε,即α是S的最小上界
• α是S的上确界，记作α=sup S
• 精确定义：S是R的一个非空数集，α∈R，如果α满足：
• 有上界数集：S是R的子集，如果存在实数M，使得对所有x∈S，都有x≤M，数M称为S的一个上界
• 有下界数集：S是R的子集，如果存在实数L，使得对所有x∈S，都有x≥L，数L称为S的一个下界
• 有界数集：数集S既有上界又有下界
• 无界集：不是有界集，即无上界或无下界
• 确界：非空数集的上确界与下确界的统称
• 确界原理：非空数集S，有上界必有上确界，有下界必有下确界
• 定理：如果非空数集S存在确界，那么他一定是唯一的
• 确界与数列关系：数列刻画确界

有下界数集：S是R的子集，如果存在实数L，使得对所有x∈S，都有x≥L，数L称为S的一个下界 下确界：最小的一个下界

精确定义：S是R的一个非空数集，β∈R，如果β满足：

1.对所有x∈S，都有x≥β，即β是S的一个下界

2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0<β ε,即β是S的最大下界

β是S的下确界，记作β=inf S

有界数集：数集S既有上界又有下界 特别地：空集 是 有界集

S是有界数集 充要条件 存在M>0 使得 对任意 x∈S ，都有|x|≤M

无界集：不是有界集，即无上界或无下界

确界：非空数集的上确界与下确界的统称

确界原理：非空数集S，有上界必有上确界，有下界必有下确界 存在性

定理：如果非空数集S存在确界，那么他一定是唯一的 唯一性

确界与数列关系：数列刻画确界 设S是非空数集，α，β∈R，则：

α=sup S <==> 任意x∈S，都有x≤α ；存在xn∈S，满足lim xn=α n->∞

β=inf S <==> 任意x∈S，都有x≥β ；存在xn∈S，满足lim xn=β n->∞