android绘制函数图像 Android绘制函数图象及正弦函数的介绍

花心冷男

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零、前言

这篇是为了下一篇做点铺垫，也是来复习一些数学基础，本篇属于休闲娱乐，不要太较真，小科普一下，不喜勿喷。本文知识点前 4 点你可以随便看看，但 第5点非常重要,本文源码见 捷文规范

本文知识点：

  • 数学函数的概念
  • 直角坐标系的下函数图形
  • 极坐标下的函数图象
  • 参数方程下的函数图形
  • 正弦函数的详细分析(为下一篇文章做铺垫)

一、数学函数的概念：

1.高中数学必修1：

设A,B为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称"f:A→B"为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f(x),x∈A 其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的[定义域] 与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的[值域]

2.大学高等数学

设数集D⊂ R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x),x∈ D 其中x称自变量，y称因变量，D称定义域，记作Df,即Df=D. 值域：Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}

3.映射：

设X,Y是两个非集合，如果存在一个法则f，使的对X中的每个元素x, 按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的映射，记作 f:X→Y 其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x),即y=f(x) 而元素x称为元素y(在映射f下)的原像

二、直角坐标系的下函数图形

这里只是模拟函数，然后绘制出可视的图象

数学中的实数是连续的，这里在屏幕中将像素作为基本的单元

绘图核心：点集成线，单点半径1px

自变量：x

定义域：Df用集合Set表示

函数关系：函数f(x)

点集用Map表示，x→y

0.网格与坐标系的绘制

网格和坐标系我已经封装，初始View如下：

public class MathView extends View { private Point mCoo = new Point(500, 700);//坐标系 private Picture mCooPicture;//坐标系canvas元件 private Picture mGridPicture;//网格canvas元件 private Paint mHelpPint;//辅助画笔 private Paint mPaint;//主画笔 private Path mPath;//主路径 public MathView(Context context) { this(context, null); } public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) { super(context, attrs); init();//初始化 } private void init() { //初始化主画笔 mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG); mPaint.setColor(Color.BLUE); mPaint.setStrokeWidth(2); mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE); mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND); //初始化主路径 mPath = new Path(); //初始化辅助 mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED); mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo); mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext()); } @Override protected void onDraw(Canvas canvas) { super.onDraw(canvas); HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture); canvas.save(); canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y); canvas.scale(1, -1);//y轴向上 canvas.restore(); }

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具体细节这里不说了，详见：Android关于Canvas你所知道的和不知道的一切,或源码

1.一次函数：y=x,定义域[-200,300]

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1.1：几个成员变量

private TreeSet<Float> Df = new TreeSet<>();//定义域 private Map<Float, Float> funMap = new HashMap<>();//映射表 private Paint mTextPaint;//文字画笔

1.2:初始化定义域

/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = -200; i <= 300; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } }

1.3：对应法则fx

/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y = x; return y; }

1.4:遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表

/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { funMap.put(x, f(x)); }); //添加所有点 }

1.5:绘制映射表

/** * 绘制映射表 * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */ private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) { map.forEach((k, v) -> { canvas.drawPoint(k, v, mPaint); }); }

2.绝对值函数：y=|x|,定义域[-200,300]

只需改一点

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/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y=Math.abs(x); return y; }

3.二次函数,定义域[-200,300]

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/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 100; return y; }

4.对数函数：log10(x)为例,定义域[1,1000]

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/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = 1; i <= 1000; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y = (float) (100.f * Math.log10(x)); return y; }

5.指数函数：定义域[-400,500]

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/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = -400; i <= 500; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f); return y; }

6.正弦函数：定义域[-360°,450°]

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/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i =-360; i <= 450; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float x) { float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x)); return y; }

经历过上面几个函数的绘制，不难发现，只有更改对应法则，即函数关系式就可以了

三、极坐标下的函数图象

1).寻找角度thta和长度p的函数关系

2).使用极坐标与直角坐标系的转换关系来绘制点集

1.笛卡尔心型线： ρ=100*(1-cosθ)

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/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = 1; i <= 360; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 绘制映射表 * * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */ private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) { map.forEach((thta, p) -> { Log.e(TAG, "drawMap: " p thta); canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint); }); } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float thta) { float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta))); return p; } /** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { float thta = (float) (Math.PI / 180 * x); funMap.put(thta, f(thta)); }); //添加所有点 }

2.四叶草： ρ=100*(1-4*sinθ)

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/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float thta) { float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta))); return p; }

3.画着玩： ρ=(e^(cosθ)-2cos(4θ) [sin(θ/12)]^5)*100

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/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float thta) { float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));; return p; }

4.涡旋线： ρ=a*θ

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/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float thta) { float p = 30*thta; return p; }

5.极坐标下的圆

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/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */ private float f(Float thta) { float p = 200; return p; }

四、参数方程下的函数图象

1.双曲线： x=a/cosα, y=btanα

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/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = 0; i <= 360 ; i ) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 绘制映射表 * * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */ private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) { map.forEach((k, v) -> { canvas.drawPoint(k, v, mPaint); }); } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */ private float y(Float thta) { float y = (float) (100 * Math.tan(thta)); return y; } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */ private float x(Float thta) { float x = (float) (200 / Math.cos(thta)); return x; } /** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { float thta = (float) (Math.PI / 180 * x); funMap.put(x(thta), y(thta)); }); //添加所有点 }

2.椭圆： x=a*cosα, y=bsinα

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/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */ private float y(Float thta) { float y = (float) (300 * Math.sin(thta)); return y; } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */ private float x(Float thta) { float x = (float) (400 * Math.cos(thta)); return x; }

3.参数方程:双钮线 x=a√(cos2θ)cosθ, y=a√(cos2θ)sinθ

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/** * 对应法则:y=a√(cos2θ)sinθ * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */ private float y(Float thta) { float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta)); return y; } /** * 对应法则:x=a√(cos2θ )cosθ * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */ private float x(Float thta) { float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta)); return x; }

五、分析与优化

1.分析

你可能已经吐槽了:什么鬼，怎么后面都是断断续续的点拼成的

等等...先别急，我们来看看这幅图能说明什么?

先看一下定义域: [-360,450]，共810个点，每个点半径1px，每个点横向距离1px

点密集则说明相邻两点间的dy很小，相反，稀疏则说明相邻两点间的dy很大

也就是密集说明函数变化的幅度小，稀疏说明函数变化的幅度大

当相邻两点距离大于圆的直径（2px）时，视觉上会看出两个点，即不连续。

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2.分析总结

为了方便描述，这里定义了几个概念

如果把一条完美的函数曲线看作P， 那所有现实中(纸、屏幕)的函数图象P'都是对P的取点模拟， 从P上取点的行为称为[取样]， 采样的个数称为[取样总数]， 取样的相邻两点xn,xn 1间的距离称为[取样距离dxn] 当每个dxn值都相等的时，称为[等距采样] 两个样本点pn,pn 1之间的距离称为[样本距离dpn]

3.看一下连续的点有哪些

在加入点集时过滤掉相邻两点间距离大于直径的点

/** * 两点间的距离 * @return */ private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) { return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) (y0 - y1) * (y0 - y1)); } /** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { float dis = dis(x, f(x), x 1, f(x 1));//每相邻两点间距离 if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) { funMap.put(x, f(x)); } });

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4.不行连续的点处理思路：

思路也就是在间距处再取样

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/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { float dis = dis(x, f(x), x 1, f(x 1));//每相邻两点间距离 if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) { funMap.put(x, f(x)); } else if (dis > mLineWidth) { float num = dis / mLineWidth;//在切割数 for (float di = 0; di <= num; di = (1.f / num)) { x = di; funMap.put(x, f(x)); } } }); //添加所有点 }

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六、正弦函数的详细分析

1.正弦函数简介

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其中A，ω，φ，k是常数，且ω≠0 振幅:A 角频率:ω 周期:T=2π/ω 频率:f=1/T=ω/2π 相位:ωx φ 初相:φ 平衡线：y=k 波峰：最大值|A| 波谷：最小值-|A|

2.振幅A: 离开平衡位置的最大距离

下面横轴的每格代表90°,化为弧度制表示即：π/2,每四格是360°,即2π

2.1： A=300

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2.2： A=100

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2.3:振幅的作用

决定正弦曲线的波峰与波谷，形象来说就是"高矮" 振幅越大，波峰越高，波谷越低，每个周期的图象显得"高"

3.角频率ω: 单位时间内变化的相角弧度值

3.1： ω=2

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3.2： ω=5

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3.3：角频率的作用

决定正弦曲线的周期，形象来说就是"胖瘦" 角频率越大，周期越小，每个周期的图象显得"瘦" ω=2 周期：T = 2π/ω = π 从图中看，每两格一周期,即π 频率：f = 1/T = 1/π

4.初相φ： x=0时的相位

4.1: φ=π/6

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4.2: φ=π/2

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4.3:振幅的作用

相位决定了标准正弦函数的左右偏移:正左偏，负右偏，偏移量：φ/ω

5.平衡值k： 决定平衡线的位置

5.1: k=100

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5.2: k=200

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5.3:平衡值的作用

平衡值决定标准正弦函数的上下偏移：正上偏，负下偏，偏移量：k

现在对于几个正弦函数的参数值已经有了一点了解,本篇结束

附录：一些常用符号：

←↑→↓∪∩⊂⊃∈∝⊆⊇∞θρφπαβγημζΩ

后记：捷文规范

1.本文成长记录及勘误表

项目源码日期备注V0.1-github2018-1-2Android绘制函数图象及正弦函数的介绍

2.更多关于我

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