高中数学知识点及公式汇总(期末复习前必备公式)

高中数学知识点及公式汇总(期末复习前必备公式)(1)

求导公式

高中数学知识点及公式汇总(期末复习前必备公式)(2)

积化和差公式

公式

sinαsinβ=-[1][cos(α β)-cos(α-β)]/2【注意等式右边前端的负号】

cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2

这里用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α)

证明:

法1

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算,参见和差化积)

法2

根据欧拉公式,e^ix=cosx isinx

令x=a b

得e ^I(a b)=e^ia*e^ib=(cosa isina)(cosb isinb)=cosacosb-sinasinb i(sinacosb sinbcosa)=cos(a b) isin(a b)

所以cos(a b)=cosacosb-sinasinb

sin(a b)=sinacosb sinbcosa

记忆方法

积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了特点各自的简单记忆方法。

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该 是[-2,2],而积的值域却是[-1,1],因此除以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2

如:

cos(α-β)-cos(α β)

=(cosαcosβ sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

=2sinαsinβ

故最后需要除以2。

向量公式

向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

向量的向量积性质:

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a b)×c=a×c b×c.

注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB BC=AC。

a b=(x x',y y')。

a 0=0 a=a。

向量加法的运算律:

交换律:a b=b a;

结合律:(a b) c=a (b c)。

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ>0时,λa与a同方向;

当λ<0时,λa与a反方向;

当λ=0时,λa=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ μ)a=λa μa.

数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a b)=λa λb.

数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

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