实数集的有界性证明（用确界存在证明实数是连续的）

我们现在所说的实数，就是包括有理数和无理数的数集。历史上无理数的发现甚至引发了第一次数学危机。实数系的连续性是很重要的结论，是分析学的基础，实数系R的连续性，从几何上理解，就是实数全体布满整个数轴没有“空隙”，我们知道知道有理数是不连续的，比如√2是有理数系的一个“空隙”。

确界存在定理、单调有界数列收敛定理、闭区间套定理、有界数列必有收敛子数列定理、柯西收敛原理，这五大定理其实是完全等价的，任意一个都可以作为实数系基本定理。

现在用小数的形式表示实数，来证明实数是连续的。关于有理数不连续的证明，也就是有理数集确界不存在的证明，放在上面的视频中。

首先补充一个确界的概念。

数学分析建立在数列极限上，而极限又是用ε-N 语言描述的，所以ε-N语言是联系数学分析和初等数学的桥梁。