积分变换傅氏变换（微积分笔记傅里叶变换）

本篇将傅里叶变换，下面以FT简称。

网上有很多关于FT的文章，还有动画，一系列首尾相连的棍子，甩啊甩。看着狂拽酷炫，然并卵，看完了觉得FT很牛逼，但依然不明白FT。怎么一个好端端的函数，就是一系列正弦波了？什么时域频域，听着高大上。

本文从最基本的三角级数开始，阐述FT的数学本质。内容非常硬核，如果只想随便看看，搜搜FT的视频，看看甩甩小棍子的即可。

0 序，为什么FT这么难以理解

FT在微积分中放在最后一章的最后一节，本身来讲篇幅不多，概念、定理、推导过程都不多，只是开了个头。之后，FT在信号与系统中出现。但是，信号系统中，着重FT的应用。对FT的导出并不是它的重点。所以就FT的学习来讲，是脱节的。微积分中不谈FT的应用，导致FT的意义没有很好落实。信号系统中FT的导出又是不够严谨的，导致知其然不知其所以然。而FT的思想，微积分教材本身是不阐明的。所以，这就造成了对于每个工科学生来讲，FT就是噩梦，稀里糊涂的睡，稀里糊涂的醒。

我们学FT，必须把各科的教材对应看。光看一册是不够全面的，自然无法体会FT的奥义。

首先：

• FT推导在于微积分，因为用到了定积分的概念，这是形而下。
• FT理解于线性代数，它的数学本质是线性空间的变换，这是形而上。
• FT应用于信号系统，这是形而下中下。

明白了这三点，学习FT就有了路。

其次，学FT，必须学它的根基。把基础打扎实。FT的基础是傅里叶级数，傅里叶级数的基础是三角级数。所以，至少我学FT，一半以上的精力是花在三角级数。弄明白了三角级数的来龙去脉，FT是水到渠成的东西。

1 级数

讲三角级数前，还是得先回顾一下级数。级数是个好东西，它能把不好的变成好的。比如幂级数，一个非常好的用处就是能解方程，无论是超越方程还是微分方程。电路中，整流电路就是靠泰勒级数求解的。

级数又是一个非常反直觉的概念。举几个例子。首先就是大家耳熟能详的

0.9999999999.... = 1

再来一个，条件收敛的常数项级数，调换项，可能导致级数不收敛，也可能导致收敛到其它值。简单来讲就是条件收敛的级数不符合加法交换律。乍一看非常神奇！从小学学起的加法交换律居然不成立了！

微积分中，级数还是一个非常重要的概念和理论。它能证明好多教材在前面中埋下的坑。如，如何判断隐函数有函数，如何判断微分方程有解，甚至有唯一解。

形式上来讲，级数就是无穷个有规律的项的和。所以，我们可以用任何组合，只要有规律的，都可以替代数或者函数。而剩下两个问题：

1. 是否收敛于常数或者函数，（废话，不收敛的要来干啥）
2. 收敛速度，（当然越快越好）。

问题1，工科有福了，可以不管，有狄利克雷收敛条件保证。万一不满足，不要紧，有广义FT。

问题2，FT不涉及。

2 三角级数

为什么函数要转换成三角级数？这恐怕是第一个问题，暂且按下。我们要解决的是，如果表示成三角函数的级数，怎么个形式？

下面是第一个想到的：

非常自然，但也是非常不好的。因为它不正交。不正交的问题在于非常难求系数。所以化成：

这个形式非常好，正交！非常容易求系数。

什么是正交，为什么正交是我们追求的，看下面的推导过程。

随之而来的第二个问题是，x是实数集，有正有负。为什么到了三角函数的n，教材中只取正整数？负的为什么不要了？

原因很简单，依然是正交。假设我们取了负数，有

可见，除了把系数弄的复杂化，没有任何好处！

3 三角级数的数学意义

这个是形而上，需要重点把握的。

从线性代数的角度看，三角级数的本质是空间变换，将原本x空间的函数映射到三角函数空间。但不同于普通意义的线性代数，这里变换的是函数，而不是一般的实数。

这是学习FT最重要的一点。FT的数学意义必须在线性代数的角度理解。但微积分受限于学科，往往教材不会点明这点。至于信号与系统，压根不算数学书。然而线性代数的教材由于本身不涉及微积分，所以一般也不会说到FT。

细品上面的黑体文字！再给张图

这就是一个线性变换，从左边的f(x)，变到了，右边的a0，a(n)，b(n)。而3个变换积分，就是线性代数中的“矩阵”！细品！

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这里要非常地岔开一下！！！

我们从初中收到的教育，y=f(x)，就是y是x的函数，就是映射。这个对学FT是一个非常大的阻碍。导致总觉得FT非常不自然。一个函数居然能成为一系列正弦函数的和？！非常地匪夷所思。这个思想的根本问题在于，你还是站在初等数学的角度，或者说站在古典微积分的角度看函数这个概念。函数是x到y的映射。

就像你站在伽利略变换的角度，永远无法理解狭义相对论。你站在均匀空间的角度，永远无法理解广义相对论，一样。

抛弃函数这个概念！欲练神功，挥刀自宫！一切都是级数！一切都是无穷和！

在级数的眼里，任何东西都是一串有规律的表达式的和，无穷和！我们借用信号系统里，冲激函数的概念

明白了？即便在传统意义上的函数，我们依然可以看成一系列有规律的表达式的和，这里就是一串冲激函数的和，只不过每个冲激函数都被调制了！在线性代数的角度，冲激函数就是基，而且是标准的不能再标准、简单的不能再简单的，正！交！基！

那么三角级数，就是原本你是用冲激函数这组基线性组合的，现在我用三角函数这组基来搞线性组合，不可以吗？站在线性代数的角度，当然可以！而且无比自然！

所以，学FT，首先要破除这个我们学了中学6年的函数的思想。将y=f(x)，不要看成一个表达式。充分理解了这点。那么接下来的问题就是：

既然x能描述y，肯定不止x能描述y，能找到其他的表达式就行。

这就是线性代数的思想——空间变换！就是找到另一组正交基！这里，由于三角函数系的正交性，自然而然就被我们选中！

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稍微总结一下，体会一下，再继续后面的推导过程！

总之，在级数的宇宙观里，没有映射这个玩意儿。一切都是无穷和。加点线性代数的概念，一切都是一组无限维数的正交基的线性组合。充分理解这个观点，直到你对

0.999999.... = 1

有了新的认识。

4 三角级数的推导

接着就是形而下的问题了，如何求系数。

在线性代数角度看，就是求解一个非常“稠密的”线性方程组。

码字太烦，直接上图

以上就是傅里叶级数的三角级数形式。

5 傅里叶级数的复数形式

教材中，包括信号系统的教材，把复数形式的傅里叶级数，用欧拉公式，从三角级数推导。这个方法非常烂！

如果你充分理解了上面的过程。应该有一个问题：还有没有其他的级数？或者站在线性代数的角度，还有没有其他空间了？或者有没有其他的正交基了？舔狗地讲，哪怕不正交也行。答案是有的，女神可不只三角函数一个！指数函数也可以组成正交基

这里一个小问题是，为什么指数函数可以有负数部分了？原因还是在于正交性！

三角函数中，由于负部分对三角函数构成冗余，导致基的非正交，所以我们舍弃了负的部分。而在指数函数中，如果要构成正交，必须引入负的部分。

接下去就可以用三角级数的过程，定积分的思想，推导复数级数。这里略。

用这个思路去理解所谓的“傅里叶级数的复数形式”！或者抛弃“傅里叶级数”、“傅里叶级数的复数形式”两个名词。着眼于“三角级数”、“复指数级数”两个名词，或许更能说明问题。

将欧拉公式看成一种偶遇，正好指数函数是三角函数的复数形式。假装我们发现了新的正交基（复指数），并又满怀豪情地推导了一把。

6 傅里叶变换

微积分中，对傅里叶变换的描述非常少，甚至于标题都是傅里叶积分。直接上图

明白了三角级数的由来，明白了指数级数的由来。FT是无比自然的东西。就是在另一个空间考察函数！而“那个”空间，在信号系统课程里，称为频域，原来的那个空间，称为时域。而在数学里，只有空间，没有时域频域之分。

7 尾声

FT不容易学，原因是要学透它所需要的知识分散在不同的教材。需要融会贯通！

在线性代数的山顶，握着定积分的推导工具，俯视傅里叶变换，俯视时域频域！在我眼里，只有线性空间，只有正交基，只有线性组合。

体会到了这一点，就不难理解傅里叶变换了。至于一串首尾相连的小棍子甩甩的，看看就好。

还有没有其他的正交基？微积分里没有了，这回是真的没有了。。。

还有一个拉普拉斯变换，简单，将不收敛的变成收敛！就这么一个目标。之前用的指数函数，指数是纯虚函数，一直振荡的。拉普拉斯就是将它用完全的复数当指数，使得有一个很强的收敛的包络。

既然你看到这里了，最后再说一个学FT的小窍门，掌握一门画图的工具，MATLAB或者Python（有matplotlib库）。事半功倍！

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