简单的三元一次方程组怎么解（这么复杂的三元二次方程组）

最近有网友向老黄提问了这样一道解三元二次方程组的问题，方程组如下：

{x^2 xy y^2=39；y^2 yz z^2=49；z^2 zx x^2=19}.

分析：不用说了，第一步肯定是给这个方程组的三个方程编号，以方便解题过程的组织了。乍看这个方程组，您有没有一种用完全平方公式解决它的冲动。那也不是一定行不通的，但老黄没有做到。

再继续观察，如果把三个式子相加，似乎就接近(x y z)^2的展开式了。不过这个方法老黄还是行不通。

或者会想到运用立方差公式，以①为例，就是等式两边同时乘以(x-y)，得到x^3-y^3=39(x-y). 同样的，其它两个式子也能转化出类似的形式。转化出来的三个式子相加，可以得到2x y-3z=0. 可以将z=(2x y)/3，代入②或③中，就可以得到一个二元二次方程组，实现消元的目的。这个方法看似比较靠谱。但如果真的这样去做的话，几乎是不可能解出方程的根来的。

那到底应该怎么办呢？其实这道题还有另外一个版本，就是要求x y z的值。我们就朝着这个方向去努力，试试看。

解：由①-②得(x-z)(x y z)=-10, 由②-③得(y-x)(x y z)=30,

设y-x=30a (1), 则x-z=-10a (2), x y z=1/a (3),

(1)-(2)得：y z-2x=40a，y z=40a 2x，代入(3)得 40a 3x=1/a, x=(1-40a^2)/(3a),

y=30a x=(1 50a^2)/(3a), 【现在发现了得到一个关于a的一元方程的可能】

将x,y代入①得：

((1-40a^2)/(3a))^2 (1-40a^2)(1 50a^2)/(3a)^2 (1 50a^2)^2/(3a)^2=39，【方程相当复杂，不过将a^2看作一个整体，化简之后，发现还是可解的】

(1-40a^2)^2 (1-40a^2)(1 50a^2) (1 50a^2)^2=351a^2，解得：a^2=1/7或a^2=1/100,

当a^2=1/7时，a=根号7/7或-根号7/7，

x1=根号7 /3-40根号7/21，或x2=40根号7/21-根号7 /3，

对应的：y1=根号7 /3 50根号7/21或y2=-根号7 /3-50根号7/21，

z1=37根号7/3-40根号7/21，或z2=40根号7/21-37根号7/3.

当a2=1/100时，a=1/10或-1/10， x3=2，或x4=-2，对应的：

y3=5，或y4=-5， z3=3，或z4=-3.

您看明白了吗？