牛顿迭代法matlab（牛顿迭代法）

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，下面我们就来说一说关于牛顿迭代法matlab?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

牛顿迭代法matlab

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

示例1：求解平方根

　　先来看如何用牛顿迭代法求解5的平方根。在计算器上的结果是2.236067…

　　问题可以看作解方程x2=5，下面尝试用牛顿迭代法求解。

　　首先令f(x)= x2 – 5 = 0，这是标准步骤，取得一个新函数，令该函数为0。这是一个抛物线：

　　抛物线与x轴的交点x就是方程的解，它比2稍大一点。

　　现在在x=2处对f(x)做切线：

f(x)的切线

切线与x轴的交点

　　x0=2，y0= x02 – 5 = -1，设k是切线斜率：

　　在x1处做f(x)的切线，重复上面步骤，

　　这就是牛顿迭代法的公式。通过作图可以看出，每一次迭代，x都将更靠近最终解。

　　f’(x)=2x，将公式代入目标方程f(x)=x2-5：

　　已经相当接近计算器的结果。

示例2：2cosx=3x

　　解方程2cosx=3x

　　由图像可知，方程存在唯一解。

　　f(x)=2cosx-3x=0，f’(x)=-2sinx-3，x0=π/6≈0.52

注意事项

　　牛顿迭代法几乎可以求解所有方程，但它仍然有一些限制。

　　通过前两个例子可以看到，在使用牛顿迭代法时，需要选取一个较为解接近真实解的x0作为迭代基数，x0如何选取呢？一句参考是：“f’不能太小，f’’不能太大，x0要在x附近”，这似乎要凭经验和感觉了，没有什么太好的办法；实际上，如果x0和x的差距过大，可能会得到一个没谱的解。

　　设第n次迭代的误差是En=|x-xn|，那么需要满足En 1<En。如果选择和计算都正确，误差缩小的速度将非常快。

　　以计算5的平方根为例，如果选择x0=-2，结果将偏向于-2.236067…；如果选择x0=0，则f’(0)=0，没法继续迭代，函数曲线如下图所示：

选择了错误的x0

代码示例：牛顿迭代法开平方

　　设x2=a，则f(x)= x2-a，根据牛顿迭代法公式：

1 const float EPS = 0.00001;

2 double sqrt(double x) {

3 if(x == 0)

4 return 0;

5 double result = x;

6 double lastValue;

7 do{

8 lastValue = result;

9 result = result / 2.0f x / 2.0f / result;

10 }while(abs(result - lastValue) > EPS);

11 return (double)result;

12 }

　　上面方法开平方会很快，但 https://www.2cto.com/kf/201206/137256.html 中提到了一个更快的方法。

　　1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）雷神之锤III并不是id Software公司的第一次成功。早在1993年开始，这家公司就以“毁灭战士”系列游戏名闻天下。1995年，“毁灭战士”的安装数超过了当年微软的windows 95。据传比尔盖茨才曾经考虑买下id software。（id software公司后来被推出过“上古卷轴”系列的Bethesda公司买下）

　　id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。 回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。

　　在其中一个名字为q_math.c的文件中发现了如下代码段：

1 float Q_rsqrt( float number ) {

2 long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F;

3 x2 = number * 0.5F;

4 y = number;

5 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking

6 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?

7 y = * ( float * ) &i;

8 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration

9 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

10 #ifndef Q3_VM #

11 ifdef __linux__ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?

12 #endif

13 #endif return y;

14 }

　　这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。

　　经过测试，它的效率比上述牛顿法程序要快几十倍。也比c 标准库的sqrt()函数要快好几倍。此段代码有一个奇怪的句子：

　　i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?

　　没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:

　　普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

　　传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

　　最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

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