等腰三角形存在性分析（拨开迷雾见青天）

开篇语

上一期内容讲的“等腰三角形存在性”在多个题型中出现，但是用了一种方法解决，也就是说只要出现“等腰三角形存在性”我们就可以利用我们总解的方法进行解决。我们今天来看看“等腰三角形存在性”问题与四边形之间的联系。

我们来思考一个问题：等腰三角形与菱形的联系？？？

两个全等等腰三角形底边重合

我们通过这个图形不难发现一个内容：

菱形转化等腰三角形：连接对角线可以转为两个全等的等腰三角形且底边重合

等腰三角形转化菱形：过两个底角的顶点向对边作平行线构成四边形为菱形

重点：“菱形存在性”可以转化为“等腰三角形存在性”

如何转化的呢？我们来看两道中考的真题，如何运用我们上期内容去解决“菱形存在性”

例题1

第一问解析

我们依然还是从问题入手来分析如何解决问题

通过问的分析，我们发现欲求抛物线解析式，我们可以通过两种方法进行解决，最终选择哪种方法或者两种方法都可以，当两种方法都可以时候，我们根据跟人喜好来选择就好了。至于选择那种方法需要我们对已知条件的分析，引导我们用什么样的方法。

通过已知条件我们可以得出：A,B,C三点坐标，所以两大类方法都可以求出解析式。

方法1:常规方法“待定系数法”

这种方法，也有两种情况出现，很多学生用得最多的是列二元一次方程组的方法，很少会利用交点式进行求解，但是最快的办法其实是交点式运算量小，算错率降低很少。

方法2：利用“对称轴a,b关系”求解析式

最终我们发现，解析式中有几个待定的系数，我们就需要几个点来求解析式。

第二问解析

通过读题，第二问让我们求四边形面积，那么我们就要思考求四边形面积，有多少种情况求得呢？

大猩猩老师通过例题地问，来给大家总结一下

四边形问题，我们分为规则图形和非规则图形，规则图形我们都可以利用公式直接求买诺记即可。出现问题基本都是关于非规则图形如何求面积问题；

补形的方法：

图1可以补成一个矩形，一般应用于平面直角坐标系中，

图2也是应用频率比较高的一种补形方法，利用两个规则的三角形相减求的面积问题，一般应用重叠性面积问题时候，求重叠面积时候应用比较多。

分割方法：

图1是连接对角线构造两个同底的三角形进行求面积根据已知面积进行构造

图2是图1的一种变形，特殊的角，然后构造三垂直然后连接BD对角线求解。

非规则的四边形中还有一类四边形也是比较特殊的，就是关于对角线的特殊位置来求面积

对角线垂直型

对角线过另一个对角线中点型

这两个图形是对角线特殊位置情况求面积的想法。求四边形面积的思维模式也就是这几种。希望大家可以灵活掌握。

通过上面总结的内容我们来看本题我们需要利用哪种方法进行解决问题。我们就图形来进行分析

图1我们可以分成两个三角形连接对角线PB，然后分别求两个三角形面积

图2我们可以利用两个直角三角形相减求四边形面积

至于选择哪一种方法，我们还给通过已知条件来选择，那么我们来看看两种方法最终我们需要求出来什么内容即可解决问题，我们来将两种方法的面积表示出来。看看需要求什么可以解决问题。

通过对两种方法总结归纳，最终我们发现无论那种方法，我们都需要求出“P”的坐标就都可以搞定，那么就涉及到求点坐标

求点坐标

通过上面两种方法，我们都是集中再求点P的坐标，求坐标方法很多，因为很明显我们可以利用“线段数量关系建立坐标方程”

通过分析，我们整个重点就是求BC解析式然后建立方程

※求BC解析式：即可建立方程。

具体步骤

分割方法

补形方法

第三问解析

通过读题，这个是求菱形存在性问题，而且涉及动点和定点，通过开始思考题，来选择三个顶点构造等腰三角形然后再找第四个点即可构成菱形

依然从问入手，求N坐标，但是平面一点，所以我们需要知道限制条件就是B,D,M,N为菱形

如何选择三个顶点构成等腰三角形情况呢？下面来介绍一下选择的基本原则

选择定点及限制条件多的点构成“等腰三角形”

找到等腰三角形，但是跟我们求N点坐标有什么关系，我们将等腰三角形情况画出来然后再把菱形存在性画出来。在看求N坐标跟什么有关系或者选择什么办法。

通过分类讨论，三种情况，但是BD=BM这种情况，M在直线BC上，所以需要有两种情况。依照这四种情况进行画出菱形存在情况，如下图所示四种情况

通过这四个图，我们会发现N的坐标与M点坐标有很大联系，如何联系的？如下

这种“平移”的方法求坐标的方法也是在菱形存在性问题当中的“特色”

通过上面的分析，我们只需求出“M”的坐标即可，最终归结求点M的坐标问题，那么我们来看看如何求点M坐标，点M在BC直线上，所以我们只需知道点M横坐标或者纵坐标即可求出点M的坐标。所以我们只需点M作两轴垂线即可。只需构造直角三角形利用解直角三角形来求得点M的横坐标或者纵坐标如下

求M坐标的分析

所以只需求出BM的长即可求出点M坐标

这种分析方法“先几何后代数”进行求解坐标问题。

求BM如何求呢？

因为是等腰三角形存在性求一个边长，所以我们可以利用“公式”上两期总结的公式总结求解如下

具体步骤

小结

• 求解析式可以利用多种思维，最终就是确定几个待定系数，我们就需要几个点求解
• 求四边形面积方法，先分两大类，然后再分别利用相应方法进行求解。灵活运用。
• 求菱形存在性问题，我们可以转化成等腰三角形存在性问题，进而求出几种情况出现，然后通过图形我们来找到关于那个点有关联，而且通常利用的方法平移的方法进行求解相对简单。
• 这个菱形存在性问题属于“两定点两动点”问题，在确定等腰三角形时候，我们可以利用“两圆一中垂”确定等腰三角形存在性，因为这里面容易忽略的就是点M在x轴的上方和下方两种情况，所以我们需要进一步了解等腰三角形存在性两个定点的问题，可以利用尺规作图进行确定可能性，然后利用“总结方法”求线段长，然后求出坐标

大猩猩老师寄语

菱形即是等腰，等腰记牢通法，以不变应万变；

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