看什么动画片可以学数学(数学也可以是动画片)

看什么动画片可以学数学(数学也可以是动画片)(1)

数学课本里总有一些很难弄明白的原理,对着数学你是不是爱不起来!把它们都变成GIF是不是容易多了?

听说给小朋友看,可以骗TA相信数学就是动画片哦!

请听题:三角函数既然是函数,那它的自变量和因变量都是什么?

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图片作者:LucasVB(1ucasvb)

从这张图里可以很明显看到,所谓正弦函数,其实就是圆上任意一点的y坐标(红)和弧长(蓝)之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。

而弧长又和弧度是完全对应的。为什么高中老师不肯用经典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”?就是因为这个对应。1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角,π弧度就是正好半个圆——相应的,之所以 Sinπ=0,正是因为当蓝线走了一个π(一个半圆)的时候,正好也走回到了 y = 0 的地方。

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图片作者:又是LucasVB(1ucasvb)

那余弦函数呢?留给读者作为练习——

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图片作者:还是LucasVB(1ucasvb)

sin函数和Cos函数曲线怎么来的?

余弦函数就是圆上任意一点的x坐标弧长之间的关联,只不过在画函数曲线的时候,把圆上点的x坐标打了个弯,对应成了函数曲线上的y坐标,就像这张图里的蓝线那样。

为了体现余弦函数的这个对应,我们也可以直接把函数本身竖过来,就成了这样:

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当然,这种对应也可以用在其它几何图形上,只不过就不如圆那么美丽了,比如下面这个丑陋的心形。

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要不为什么说圆是最完美的身材!(并不是)

极坐标的魔法

如何把直角坐标变成极坐标?看我的:

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这是什么黑魔法……

别急,听我解释,事情就是你看到的那样:

首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。之所以要有这一步,是因为极坐标里我们很武断地把0度定义在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上,那就不需要这一步了。

然后,我们把Y轴折弯过来,直到它缩成一个点。成功!

思路是这样的:直线在几何上可以认为是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆,永远不向自身弯折。但如果我们逐渐降低曲率半径,从无限一直降到零,就等于是把Y轴变成一个逐渐缩小的圆、最后变成一个点。而原来直角坐标的“Y轴”所承载的信息,在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

注意,这个转换体现的是极坐标和直角坐标之间不同的对应方式,是把一种对应变成了另一种对应,而不是说把同一个曲线从直角坐标表达式换成极坐标表达式。前后两个是不同的曲线。

正十七边形尺规作图

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图片作者:Aldoaldoz

正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出,而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。(猜猜这个卡莱尔是谁?托马斯·卡莱尔。对,就是那个《法国大革命史》和《论英雄、英雄崇拜与历史上的英雄业绩》的作者。)

那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他已经知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

不过,正三边形(好吧,正三角形)和正五边形人们早知道了,而正257边形什么的做起来又太麻烦,所以最后正十七边形成了最出名的。

那么正十七边形的对应三角函数应该怎么表达?高斯的《算术研究》给出了结果:

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三角形内角和为什么是180º?

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怎样把一个四边形剪拼成一个长方形?

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两个全等三角形可以拼成一个平行四边形

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两个全等梯形可以拼成平行四边形

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怎样将一个正三角形剪拼成正方形?

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怎样把两正方形剪拼成一个大正方形?

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三角形外角和为360º的三种动画解释

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画一个椭圆

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个椭圆

接着是一个双曲线

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双曲线体是由无数条直线构成的!

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这是一个它的实际应用

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对数函数是这样来的

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帕斯卡三角形的计算方法

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圆周率怎么来的?

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黄金分割

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如何计算圆形的面积?

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tan函数曲线怎么来的?

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这张可以表示Sin与Cos的关系

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弧度制怎么来的?

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矩阵转置怎么来的?

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勾股定理怎么来的?

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谢尔宾斯基三角怎么来的?

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多边形的外角和等于360度怎么来的?

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怎么样,对数学是不是有了一点好感呢?

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