微积分数学难题（数学思维的妙处）

文/老余

数学，是很多朋友的噩梦。

有人说，数数和学习都问题不大，但合在一起，数学就要了命了。甚至有很多人穿越了数学的分水岭，在大学学高等数学仍有想死的感觉，激动时甚至要问候牛顿的妈妈才能泄愤（微积分是牛顿发明的）。

但我觉得，很多朋友之所以学不好甚至愤恨，都不是数学本身的问题，而是老师的问题，他们一上来就是做题做题，永远的做题，从来不告诉学生这些数定理学背后的故事，其实基本所有的数学概念之所以被发明、发现，是因为创造者遇到了现实的问题，想要通过数学工具去解决问题的。

比如微积分，牛顿当时为什么要发明微积分？他是要解决什么问题？如果我们知道这背后的原因，也就理解了微积分的内核，然后从具体返回到数学抽象，去做微积分的题就会舒服很多，颠倒过来问题就大了，本来抽象的就难理解，然后还要在难理解的抽象上去扩展更多的抽象的推论和定理。

不糊才怪！

那老师们为何不从具体的故事和问题出发，再返回到抽象呢？其中原因可能是老师们自己也不知道微积分到底是啥，到底是要解决啥问题的，他的老师们也是这么教的，所以也这么教我们，还有就是这与老师的绩效无关，他们没有动力教这些不考的内容。

以上原因导致一代又一代人讨厌数学，也有很多人觉得，学这些讨厌的东西对我们现实生活有什么用？小学搞完加减乘除就得了，能应对现实生活就够了，学什么高等数学、什么微积分、什么向量，这都是吃饱了撑的。

真的是这样吗？

我觉得不是，很多数学里的思想和理念对我们的现实生活有很多深刻的启发。

所以，这个《数学思维的妙处》小系列就来介绍几个数学概念对我们生活、工作、创业的启发，我保证当你明白这四个数学概念后，你就不再是原来的你了，因为你眼里的混沌世界开始清晰起来。

当然，首先要交代的是我们不解题，我们偏重的是思维方式，不到万不得已，我也不会用到让人头大的公式。

我们从很多人最讨厌的「微积分」开始。

（一）牛顿发明微积分，是为了解决什么问题？

一看到微积分，这些如蚯蚓般的东西好像真的从视线钻进了大脑里，弄得很多朋友脑阔疼。

牛顿为何要发明这么个让后世学子如此头疼的东西呢？

因为他当时遇到了一个问题：

在理解速度上，他前面人的理解还很浅薄，仅限于速度的平均值上，比如一个人花了5分钟走了100米，那这个人的平均速度=100➗5=20米/分钟。

但牛顿觉得这个太宽泛了不够细致，这个人在前行的过程中的速度并不是每分每秒都是匀速的，我想了解他每个瞬间的速度，怎么办？

那我把这个人的行进过程进行无限分割，那我不就可以得到这个人每个瞬间的速度了吗！

由此牛顿发现了加速度这个概念，一个物体静止不动，我们推一下它，会瞬间产生一个加速度，加速度累积到一定程度，才会产生速度，而速度再累计到一定程度后，才会有位移。

虽然我们从外面看，是我们把物体推动了，但从物体里面看，整个过程是这样的：加速度累计→变成速度→速度累积→产生位移。

这个过程，就是积分。

反过来，就是微分：位移的一阶导数，就是速度，而速度的一阶导数就是加速度。所以，加速度就是位移的二阶导数。

说白了：

——积分就是微观累积到宏观的过程；微分就是宏观切分到微观的过程。

这还是有点难理解，这个过程我们换一个例子会更直观——圆的面积S=πR²。

为何数学家会得出圆的面积公式呢？是因为他们运用微积分思维，把圆的面积转化为了长方形面积：

第一步：把一个圆先微分：也就是先以圆心为中点无限分割成扇形（我画得还不够无限）：

图很丑，您凑合看

第二步：把扇形积分：也就是把这些无限分割的扇形一正一反地拼接在一起，如下图：

从以上两个图可以看出，只要分得越细，圆的面积就越接近这个长方形面积，只要无限分割，那这个圆的面积就是这个长方形面积，而大家都知道，长方形面积=长✖️宽。

于是圆的面积S=πR（长）✖️R（宽）=πR×R=πR²。

很多朋友现在已经不需要做题了，但这种微分、积分的过程，能给我们日常生活什么启发？

其实很深刻。

（二）微积分，如何怎么指导我们的现实生活？

我看到了两点：

1、今天的努力，并不能带来明天的成功，但能为后天的成功做准备

在物理世界里，我们推一个物体，虽然我们看到的是这个在移动，但当我们在推它时，是先产生一个加速度，这个加速度累计后，才会产生速度，而这个速度累计后，才能产生位移。

这与「努力→能力→成功」的过程是一模一样的。

你看是不是这么一个过程：如果把努力看成加速度，把能力看成速度，把最后的成功看成位移。那这三者之间的关系其实就是一个积分的过程。

短时的努力并不能转化为能力，我们得长时间、滴水穿石的努力才能累积为自身的能力，而能力累积到成功，也需要时间。

很多人为何一生碌碌无为？

或许不是因为不够聪慧，而是没有了解「微积分的思想」，所谓无志之人常立志，当一开始立志做某件事时会努力一阵，但这一阵的努力由于时间太短，并不会立即转化为能力，最后的成功也就无从谈起了。

但他的理解可能不是努力的时长不够，而是方向错误，于是成了那个挖井水的人，到处挖，可每次要挖到水之前就又放弃了。

从努力→能力的过程，会隔绝大部分人；从能力→成功，也是需要时间的，这个过程又会隔绝很多人。

这也解释了为何最后成事的人会寥寥无几的原因（当然，运气也是很重要的）。

所谓有志之人立长志，确实也符合「微积分」的思想，从「努力→能力→成功」要穿越重重关卡：

——滴水穿石的时间忍耐，力出一孔的聚焦，都是常人难以跨越的巨大心理和行动障碍。

2、今天的懈怠，并不会给明天埋下隐患，但能成为后天失败的垫脚石

很多朋友生活、工作一直兢兢业业，但在漫漫长路上慢慢懈怠了，但懈怠后他会惊喜地发现：也没什么啊，我的能力、我的眼光、我的业绩都没受啥影响。

于是，给懈怠找到了一堆感统协调的理由，什么努力并不能影响成功，选择才能；什么努力就是使蛮劲，你看好些人不努力也成功了等等。

当断了那条「努力→成功」的念想后，我们的行为就再也找不回这条通道了，因为从「不努力→能力下降→成不了事」也是一个累积的过程，我们现在松懈了，这个松懈的结果可能要好几个月甚至好几年才能显现。

而此时，我们是不会自省到是几个月、几年的不努力埋下的种子的。

自省没有找到真正的原因，怎么可能再回到「努力→能力→成功」的道路上来呢？

永无可能了！

这可能与人性的弱点有关吧：

——当我们努力时、给别人帮助时，总是希望能立即得到回报；而当出了问题，我们也总是找别人的原因。

大神-牛顿

（三）结语

在微积分被发明之前，我们以为推力到位移没有中间过程，我们以为推力就是位移的直接原因。

殊不知，这中间还有「加速度的累积」，还有「速度的累积」，最后才是物体的位移。

同理，世间所有事都需要一个过程，而从你的出发点到期望的终点之间，其实还有好几座山要翻越，最可怕的事是我们「不知道自己不知道」，当我们不知道这几座山时，就会因为起点到终点的实际情况与你的预期不相符，而放弃。

这其实就是我们常说的「反馈滞后」。

但当我们了解了「微积分」的思维，就会非常清楚这种滞后是客观存在：

在工作中，当我们努力时，心里就会明白要将努力变成能力，需要累积需要一个过程，而从能力累积到成就，也需要一个过程。

在家庭里，当我们想改变紧张的夫妻关系、亲子关系时，心里也就明白了自己做出的改变需要一个过程让对方接受，接受完了自己还得继续，这是要让接受变为相信，只有对方相信了，才会回应你的改变，这都需要时间。

... ...

在第一季《乐队的夏天》里，九连真人的一首歌让我印象深刻——《莫欺少年穷》，为何莫欺少年穷？

因为少年们现在的积累确实还少，但只要一路上在数学上称为导数的东西够大（积累够快），在不久的将来，他们的成就不可限量。

而少年们最大的优势，就是拥有在“求导”过程中有所成就的重要因素：

——时间。

（完）

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