微积分数学难题(数学思维的妙处)

文/老余

数学,是很多朋友的噩梦。

有人说,数数和学习都问题不大,但合在一起,数学就要了命了。甚至有很多人穿越了数学的分水岭,在大学学高等数学仍有想死的感觉,激动时甚至要问候牛顿的妈妈才能泄愤(微积分是牛顿发明的)。

但我觉得,很多朋友之所以学不好甚至愤恨,都不是数学本身的问题,而是老师的问题,他们一上来就是做题做题,永远的做题,从来不告诉学生这些数定理学背后的故事,其实基本所有的数学概念之所以被发明、发现,是因为创造者遇到了现实的问题,想要通过数学工具去解决问题的。

比如微积分,牛顿当时为什么要发明微积分?他是要解决什么问题?如果我们知道这背后的原因,也就理解了微积分的内核,然后从具体返回到数学抽象,去做微积分的题就会舒服很多,颠倒过来问题就大了,本来抽象的就难理解,然后还要在难理解的抽象上去扩展更多的抽象的推论和定理。

不糊才怪!

那老师们为何不从具体的故事和问题出发,再返回到抽象呢?其中原因可能是老师们自己也不知道微积分到底是啥,到底是要解决啥问题的,他的老师们也是这么教的,所以也这么教我们,还有就是这与老师的绩效无关,他们没有动力教这些不考的内容。

以上原因导致一代又一代人讨厌数学,也有很多人觉得,学这些讨厌的东西对我们现实生活有什么用?小学搞完加减乘除就得了,能应对现实生活就够了,学什么高等数学、什么微积分、什么向量,这都是吃饱了撑的。

真的是这样吗?

我觉得不是,很多数学里的思想和理念对我们的现实生活有很多深刻的启发。

所以,这个《数学思维的妙处》小系列就来介绍几个数学概念对我们生活、工作、创业的启发,我保证当你明白这四个数学概念后,你就不再是原来的你了,因为你眼里的混沌世界开始清晰起来。

当然,首先要交代的是我们不解题,我们偏重的是思维方式,不到万不得已,我也不会用到让人头大的公式。

我们从很多人最讨厌的「微积分」开始。

微积分数学难题(数学思维的妙处)(1)

(一)牛顿发明微积分,是为了解决什么问题?

一看到微积分,这些如蚯蚓般的东西好像真的从视线钻进了大脑里,弄得很多朋友脑阔疼。

牛顿为何要发明这么个让后世学子如此头疼的东西呢?

因为他当时遇到了一个问题:

在理解速度上,他前面人的理解还很浅薄,仅限于速度的平均值上,比如一个人花了5分钟走了100米,那这个人的平均速度=100➗5=20米/分钟。

但牛顿觉得这个太宽泛了不够细致,这个人在前行的过程中的速度并不是每分每秒都是匀速的,我想了解他每个瞬间的速度,怎么办?

那我把这个人的行进过程进行无限分割,那我不就可以得到这个人每个瞬间的速度了吗!

由此牛顿发现了加速度这个概念,一个物体静止不动,我们推一下它,会瞬间产生一个加速度,加速度累积到一定程度,才会产生速度,而速度再累计到一定程度后,才会有位移。

虽然我们从外面看,是我们把物体推动了,但从物体里面看,整个过程是这样的:加速度累计→变成速度→速度累积→产生位移。

这个过程,就是积分。

反过来,就是微分:位移的一阶导数,就是速度,而速度的一阶导数就是加速度。所以,加速度就是位移的二阶导数。

说白了:

——积分就是微观累积到宏观的过程;微分就是宏观切分到微观的过程。

这还是有点难理解,这个过程我们换一个例子会更直观——圆的面积S=πR²。

为何数学家会得出圆的面积公式呢?是因为他们运用微积分思维,把圆的面积转化为了长方形面积:

第一步:把一个圆先微分:也就是先以圆心为中点无限分割成扇形(我画得还不够无限):

微积分数学难题(数学思维的妙处)(2)

图很丑,您凑合看

第二步:把扇形积分:也就是把这些无限分割的扇形一正一反地拼接在一起,如下图:

微积分数学难题(数学思维的妙处)(3)

从以上两个图可以看出,只要分得越细,圆的面积就越接近这个长方形面积,只要无限分割,那这个圆的面积就是这个长方形面积,而大家都知道,长方形面积=长✖️宽。

于是圆的面积S=πR(长)✖️R(宽)=πR×R=πR²。

很多朋友现在已经不需要做题了,但这种微分、积分的过程,能给我们日常生活什么启发?

其实很深刻。

微积分数学难题(数学思维的妙处)(4)

(二)微积分,如何怎么指导我们的现实生活?

我看到了两点:

1、今天的努力,并不能带来明天的成功,但能为后天的成功做准备

在物理世界里,我们推一个物体,虽然我们看到的是这个在移动,但当我们在推它时,是先产生一个加速度,这个加速度累计后,才会产生速度,而这个速度累计后,才能产生位移。

这与「努力→能力→成功」的过程是一模一样的。

你看是不是这么一个过程:如果把努力看成加速度,把能力看成速度,把最后的成功看成位移。那这三者之间的关系其实就是一个积分的过程。

短时的努力并不能转化为能力,我们得长时间、滴水穿石的努力才能累积为自身的能力,而能力累积到成功,也需要时间。

很多人为何一生碌碌无为?

或许不是因为不够聪慧,而是没有了解「微积分的思想」,所谓无志之人常立志,当一开始立志做某件事时会努力一阵,但这一阵的努力由于时间太短,并不会立即转化为能力,最后的成功也就无从谈起了。

但他的理解可能不是努力的时长不够,而是方向错误,于是成了那个挖井水的人,到处挖,可每次要挖到水之前就又放弃了。

从努力→能力的过程,会隔绝大部分人;从能力→成功,也是需要时间的,这个过程又会隔绝很多人。

这也解释了为何最后成事的人会寥寥无几的原因(当然,运气也是很重要的)。

所谓有志之人立长志,确实也符合「微积分」的思想,从「努力→能力→成功」要穿越重重关卡:

——滴水穿石的时间忍耐,力出一孔的聚焦,都是常人难以跨越的巨大心理和行动障碍。

微积分数学难题(数学思维的妙处)(5)

2、今天的懈怠,并不会给明天埋下隐患,但能成为后天失败的垫脚石

很多朋友生活、工作一直兢兢业业,但在漫漫长路上慢慢懈怠了,但懈怠后他会惊喜地发现:也没什么啊,我的能力、我的眼光、我的业绩都没受啥影响。

于是,给懈怠找到了一堆感统协调的理由,什么努力并不能影响成功,选择才能;什么努力就是使蛮劲,你看好些人不努力也成功了等等。

当断了那条「努力→成功」的念想后,我们的行为就再也找不回这条通道了,因为从「不努力→能力下降→成不了事」也是一个累积的过程,我们现在松懈了,这个松懈的结果可能要好几个月甚至好几年才能显现。

而此时,我们是不会自省到是几个月、几年的不努力埋下的种子的。

自省没有找到真正的原因,怎么可能再回到「努力→能力→成功」的道路上来呢?

永无可能了!

这可能与人性的弱点有关吧:

——当我们努力时、给别人帮助时,总是希望能立即得到回报;而当出了问题,我们也总是找别人的原因。

微积分数学难题(数学思维的妙处)(6)

大神-牛顿

(三)结语

在微积分被发明之前,我们以为推力到位移没有中间过程,我们以为推力就是位移的直接原因。

殊不知,这中间还有「加速度的累积」,还有「速度的累积」,最后才是物体的位移。

同理,世间所有事都需要一个过程,而从你的出发点到期望的终点之间,其实还有好几座山要翻越,最可怕的事是我们「不知道自己不知道」,当我们不知道这几座山时,就会因为起点到终点的实际情况与你的预期不相符,而放弃。

这其实就是我们常说的「反馈滞后」。

但当我们了解了「微积分」的思维,就会非常清楚这种滞后是客观存在:

在工作中,当我们努力时,心里就会明白要将努力变成能力,需要累积需要一个过程,而从能力累积到成就,也需要一个过程。

在家庭里,当我们想改变紧张的夫妻关系、亲子关系时,心里也就明白了自己做出的改变需要一个过程让对方接受,接受完了自己还得继续,这是要让接受变为相信,只有对方相信了,才会回应你的改变,这都需要时间。

... ...

在第一季《乐队的夏天》里,九连真人的一首歌让我印象深刻——《莫欺少年穷》,为何莫欺少年穷?

因为少年们现在的积累确实还少,但只要一路上在数学上称为导数的东西够大(积累够快),在不久的将来,他们的成就不可限量。

而少年们最大的优势,就是拥有在“求导”过程中有所成就的重要因素:

——时间。

(完)

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