期望存在方差一定存在吗（认识方差理想和现实之间的差距）

生活中我们常常听到“不要把鸡蛋放在同一个篮子”“这个事情不稳定”“波动性很大”等等语句，前面我们聊过数学期望也就是平均值，现在我们聊聊同样对我们的决策影响巨大，且非常有价值的事情，它就是随机结果的波动程度，也叫作“方差”。

1. 什么叫方差

方差就是随机结果围绕数学期望的波动范围。对于一个随机事件，数学期望描述的是长期价值也就是平均值，无法反映波动性。方差就是专门描述这种波动性的数值，弥补了数学期望描述随机事件的不足。方差计算方式是结果的值与数学期望之差的平方的均值，听上去非常绕，我们举例子算一下。

比如两个同学的5次考试测验成绩如下：小A： 50，100，100，60，50，平均值是72；小B：73， 70，75，72，70 平均值是72。平均成绩相同。小A的成绩的方差计算公式就是[（50-72）^2 (100-72)^2 (60-72)^2 (50-72)^2]/5=536。小B的成绩方差计算过程是一样的，结果就是3.6，可以明显的感觉出来，小B的成绩非常稳定，波动性就很小。这就是方差。

2. 方差的本质其实是对风险和误差的度量

风险和误差本质上指的就是波动性，方差的本质就是对风险和误差的度量，方差越大，说明这件事波动性越大，可能的结果离期望值越远。比如，如果我们做10次抛硬币试验，只出现4次正面朝上的情况，就有了误差，误差是1。如果9次正面朝上，那么误差就就是4了。

长期来看，股票的投资回报率还是很可观的，也就是数学期望其实很高，但还是有很多人选择将钱存银行或者收益稳定的国债，而不愿意选择收益更高的股票，其实就是考虑到了两者方差的不同。股票起伏不定，方差太大，风险太高；而国债或者货币基金很稳定，方差很小，风险也很小。

这也是为什么我们常说“投资多元化”“不要把鸡蛋放在同一个篮子”，如果把钱投入到一家公司、一支股票上，一旦它遭受冲击，亏损就会比较大；而如果分散投资，这种投资组合的方差就很小，风险也就更低。

3. 如何对抗和利用方差

首先，我们可以通过增加本钱的方式对抗波动性。本钱越多，承受风险的能力越强。如果一个事项或者选择只要第一局就输完了，没本钱继续了，根本没办法等到长期，来收获长期的“期望”。如果你的本钱是无限，可能某几次会输，但没关系长期投资下去，你终将成为赢家。赌场和就是靠这种方式保证庄家永远是挣钱的。

对于生活中的其他问题，和增加本钱类似，只要增加数据选择，就能做到对抗方差、对抗波动性。比如，预测一个学校的高考升学率，就不能只看某一个学生或者某一个班的成绩，这样风险太大，但是如果把全校10个班的学生成绩都采集上来，甚至把全市、全省、全国的对比数据都采集上来，这样就能做出更准确的预测。

越是小概率事件，你如果想确保它发生，需要试验的次数比理想的次数越要多得多。比如说一件事发生的概率为1%，虽然进行100次试验后它的数学期望值达到了1，但是这时它的标准差大约也是1，也就是说误差大约是100%，因此试了100次下来，可能一次也没有成功。

如果你想确保获得一次成功，你大约要做260次左右的试验，而不是100次。这里面的数学细节我们就不算了，大家记住这个结论就好。也说明了凡事做好充足的准备，争取一次性成功，这要远比不断尝试小概率事件靠谱得多。

施一公认为中国大学生中难以产生拔尖的创新人才的原因是中国的大学生“均值很高，但方差很小”，也因为如此，施一公参与创办了中国第一所研究型民办大学“西湖大学”。通过人为设计主动扩大波动性，我们也能利用方差达到自己的目的。比如偶尔一次旅行、出去吃顿好的、给媳妇买个奢侈品包，都会让生活更加丰富多彩，幸福感更高。

参考资料：

1.得到app《刘嘉·概率论22讲》《吴军·数学通识50讲》《万维钢·精英日课》。

2.《吴军数学通识讲义》吴军著，新星出版社2021年4月出版。

（关注、点赞、转发）