求函数解析式的六种常用方法（抽象函数定义域的求法）

在最近的教学过程中发现许多高一的同学对抽象函数定义域的求法掌握不牢固，一做就错。下面我们就来研究一下抽象函数的定义域是如何求的？

一、提出问题：已知函数f（x）的定义域为（1,2），求函数f（2x 1）的定义域。

这个题错误的认为后者“2x 1”中x的范围是（1,2），从而求出“2x 1”的范围是（3,5），这个结果是典型的错误，切记。

二、解决问题：

我们先来看一下函数定义域的定义：

图片来自百度百科

为了解决上面问题我们先来举几个简单例子：

1）求函数

的定义域。

对于这个问题，高一的同学都会马上求出来，根据题意易求出函数定义域为（1,2）.

2）已知函数

求f（x 1），并求函数f（x 1）的定义域。

对于这个题，难度也不大，易求出

对于函数f（x 1）的定义域也不难，因为解析式都知道了，易求出定义域为（0,1）。

再如：

3）已知函数

求f（2x 1），并求函数f（2x 1）的定义域。

对于这个问题，聪明的小朋友已经知道如何去计算了，正确答案应该是（1,0.5）.

想一想已知f（x），是如何求f（x 1）和f（2x 1）的呢？

其实我们就是把f（x）的x换成了x 1和2x 1，再想想，既然这样代换一下就可以了，那么f（x）中的x和f（x 1）中的“x 1”以及f（2x 1）中的“2x 1”的范围是不是一样的呢？对于上述函数的，“括号”里面的整体的范围确实是一样的，接下来只需求出自变量x的范围即可。其实我们已经把上面问题解决了，总结起来只要掌握以下两点抽象函数的定义域就没那么难求了：

（1）求函数定义域，最终要落到求自变量“x”的范围上，不是求“x 1”也不是求“2x 1”的范围。

（2）对于“同名”函数，“括号”里的整体范围一般是一样的。（这里我们说的是一般，不需要抬杠）

那么原题就好做了：

“已知函数f（x）的定义域为（1,2），求函数f（2x 1）的定义域。”

f（x）中“括号”的范围是（1,2），则函数f（2x 1）中“括号”里2x 1的范围也是（1,2），从而有不等式：1<2x 1<2,解得：0<x<0.5,也就是求出了f（2x 1）的定义域为（0.0.5）。

你学会了吗？

三、变式练习：

已知函数f（2x 1）的定义域为[2,5],求函数f（x 2）的定义域。

答案：[3,9]

已知函数f（x）的定义域为（-1,5），求函数f（x² 1）的定义域。

答案：（-2,2）

上面我们通过简单的例子总结抽象函数定义域的求法，从具体函数的定义域的求法中找到规律，迁移到抽象函数中去，其实老师也希望同学们在做数学题时遇到难题不用怕，以退为进，把抽象问题具体化一下，通过“简单题”总结方法，然后再把此法迁移到抽象题目中去。