高考圆锥曲线大题速解（高考数学圆锥曲线变幻莫测）

在高考数学的圆锥曲线中，有很多神奇的问法，比如

（1）在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM ∠PQN＝180°

（2）在x轴上是否存在一点B使得∠ABM＝∠ABN；

（3）在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称；

（4）在x轴上是否存在一点T，使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上。

看似毫无相关的问法，实际上是同一个问题，不妨拿出手里的纸和笔画出以上几个图形，通过几何语言对其进行适当的转化，我们能发现他们都是同一个问题。（如果条件不允许，手中没有纸和笔，那等读完全文后再去体验也不迟！）我们把这个问题称为“张角问题”。

世界就像“太极”中描述的那样，有阴必有阳，有神奇的问法，必有神奇的结论。关于本文的张角问题，自然会牵扯进一批结论，它们可以解决一大类关于“角平分线”的问题。今天分享三个张角问题的结论，并配有大量相应模拟练习题，助您秒题愉快！

焦点弦张角

椭圆准线与长轴的交点，对于相应焦点及焦点弦的两个端点，所形成的张角相等。

如图：∠AGF=∠BGF

双曲线准线与实轴的交点，对于相应焦点及焦点弦的两个端点，所形成的张角相等。

如图：∠AGF=∠BGF

抛物线准线与对称轴的交点，对于其焦点及焦点弦的两个端点，所形成的张角相等。

如图：∠AGF=∠BGF

定点弦张角

该结论实际上是焦点弦结论的一般情况。即我们不要求弦非过焦点不可，只需过x轴上某一定点，那么必有相应的点去形成张角相等。

1. 过椭圆任意定点N（t，0）的弦AB，则必有点G（a^2/t，0），且G对点N，A，B所形成的张角相等。
2. 过双曲线任意定点N（t，0）的弦AB，则必有点G（a^2/t，0），且G对点N，A，B所形成的张角相等。
3. 过抛物线任意定点N（t，0）的弦AB，则必有点G（-t，0），且G对点N，A，B所形成的张角相等。

由于这三个图形状态与焦点弦的状态类似，我们只用椭圆的情况加以示范（∠AGN=∠BGN），对于双曲线和抛物线的情况，请仿照上述定理！

【实战演练】

已知椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y^2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|=5/3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．

【分析】

（1）根据抛物线的性质和定义求出椭圆c的值和点P的坐标，然后再代入椭圆方程，可解得椭圆方程；

（2）直线y＝k（x﹣1）过点（1,0），正是椭圆的右焦点，故根据结论，可以轻松得到定点T的坐标应该是右准线与x轴的交点，点T的坐标是（4,0）,解答过程还是要按部就班，下面给出详细过程，方便参考。

【详解】

【变式练习1】

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦距等于短轴长，抛物线E：x^2＝8y的焦点是椭圆C的一个顶点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点Q（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，问是否在x轴上存在一点T，使得∠ATQ＝∠BTQ？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】

（1）由题意得关于a，b，c的方程组，求解得到a，b的值，则椭圆方程可求；

（2）此题的点Q不是椭圆的焦点，但是由第二组结论我们依然知道定点T的坐标，若Q（t，0），则T（a^2/t，0），根据结论答案瞬间求出！注意解题过程的严密性，如果用点斜式设直线方程，要考虑直线l的斜率存在与不存在两种情况！

【详解】

【变式练习2】

已知焦点在y轴上的椭圆C，右短轴的端点为A，上焦点为F，△ABF为等腰直角三角形，且M（1,0）为线段OA的中点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM＝∠QNM?若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

【分析】此题与之前题型不同，椭圆方程的焦点是在y轴上的，而点M依然在x轴上，看起来之前的结论并不成立。但事实上，当所过定点不在长轴，而在短轴时候，该结论依然成立，只需要把对应的a^2换成b^2即可，也是由于结论是在方程的视角下推出的，所谓长轴短轴自然是无所谓的。即此题的定点坐标应该是（b^2/t，0），此题的详解略，给出得数，详细过程大家自行完成。

【答案】（1）略（2）（4,0）

双切线张角问题

过椭圆外一点P作椭圆的两条切线，则点P对切点与焦点的张角相等。

即：∠APF1=∠BPF2

过双曲线外一点P作椭圆的两条切线，则点P对切点与焦点的张角相等。

即：∠APF1=∠BPF2

过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，则点P对切点与焦点的张角相等。（抛物线的另一个焦点在无穷远处，即P与另一个焦点的连线平行于对称轴）

即：∠APF=∠BPF’

本条结论对于高中数学来讲，有些高端，目前未在高考题或模拟中出现过，这里仅未广大教师群体提供知识上的扩展，提升教学能力。列举一道练习题，不在赘述解析。

【例题】过点P（2,0）作抛物线x^2=4y的切线PA（斜率不为0），为焦点，试研究直线PF、PA、PB斜率的关系。

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