高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)

在高考数学的圆锥曲线中,有很多神奇的问法,比如

(1)在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM ∠PQN=180°

(2)在x轴上是否存在一点B使得∠ABM=∠ABN;

(3)在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称;

(4)在x轴上是否存在一点T,使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上。

看似毫无相关的问法,实际上是同一个问题,不妨拿出手里的纸和笔画出以上几个图形,通过几何语言对其进行适当的转化,我们能发现他们都是同一个问题。(如果条件不允许,手中没有纸和笔,那等读完全文后再去体验也不迟!)我们把这个问题称为“张角问题”。

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(1)

世界就像“太极”中描述的那样,有阴必有阳,有神奇的问法,必有神奇的结论。关于本文的张角问题,自然会牵扯进一批结论,它们可以解决一大类关于“角平分线”的问题。今天分享三个张角问题的结论,并配有大量相应模拟练习题,助您秒题愉快!

焦点弦张角

椭圆准线与长轴的交点,对于相应焦点及焦点弦的两个端点,所形成的张角相等。

如图:∠AGF=∠BGF

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(2)

双曲线准线与实轴的交点,对于相应焦点及焦点弦的两个端点,所形成的张角相等。

如图:∠AGF=∠BGF

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(3)

抛物线准线与对称轴的交点,对于其焦点及焦点弦的两个端点,所形成的张角相等。

如图:∠AGF=∠BGF

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(4)

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定点弦张角

该结论实际上是焦点弦结论的一般情况。即我们不要求弦非过焦点不可,只需过x轴上某一定点,那么必有相应的点去形成张角相等。

  1. 过椭圆任意定点N(t,0)的弦AB,则必有点G(a^2/t,0),且G对点N,A,B所形成的张角相等。
  2. 过双曲线任意定点N(t,0)的弦AB,则必有点G(a^2/t,0),且G对点N,A,B所形成的张角相等。
  3. 过抛物线任意定点N(t,0)的弦AB,则必有点G(-t,0),且G对点N,A,B所形成的张角相等。

由于这三个图形状态与焦点弦的状态类似,我们只用椭圆的情况加以示范(∠AGN=∠BGN),对于双曲线和抛物线的情况,请仿照上述定理!

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【实战演练】

已知椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,且F2也是抛物线E:y^2=4x的焦点,P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点,且|PF2|=5/3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有∠OTS=∠OTR?说明理由.

【分析】

(1)根据抛物线的性质和定义求出椭圆c的值和点P的坐标,然后再代入椭圆方程,可解得椭圆方程;

(2)直线y=k(x﹣1)过点(1,0),正是椭圆的右焦点,故根据结论,可以轻松得到定点T的坐标应该是右准线与x轴的交点,点T的坐标是(4,0),解答过程还是要按部就班,下面给出详细过程,方便参考。

【详解】

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高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(8)

【变式练习1】

在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的焦距等于短轴长,抛物线E:x^2=8y的焦点是椭圆C的一个顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若过点Q(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,问是否在x轴上存在一点T,使得∠ATQ=∠BTQ?若存在,求出点T的坐标,若不存在,说明理由.

【分析】

(1)由题意得关于a,b,c的方程组,求解得到a,b的值,则椭圆方程可求;

(2)此题的点Q不是椭圆的焦点,但是由第二组结论我们依然知道定点T的坐标,若Q(t,0),则T(a^2/t,0),根据结论答案瞬间求出!注意解题过程的严密性,如果用点斜式设直线方程,要考虑直线l的斜率存在与不存在两种情况!

【详解】

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高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(10)

【变式练习2】

已知焦点在y轴上的椭圆C,右短轴的端点为A,上焦点为F,△ABF为等腰直角三角形,且M(1,0)为线段OA的中点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P,Q,试问在x轴上是否存在定点N,使得∠PNM=∠QNM?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。

【分析】此题与之前题型不同,椭圆方程的焦点是在y轴上的,而点M依然在x轴上,看起来之前的结论并不成立。但事实上,当所过定点不在长轴,而在短轴时候,该结论依然成立,只需要把对应的a^2换成b^2即可,也是由于结论是在方程的视角下推出的,所谓长轴短轴自然是无所谓的。即此题的定点坐标应该是(b^2/t,0),此题的详解略,给出得数,详细过程大家自行完成。

【答案】(1)略(2)(4,0)

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(11)

双切线张角问题

过椭圆外一点P作椭圆的两条切线,则点P对切点与焦点的张角相等。

即:∠APF1=∠BPF2

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(12)

过双曲线外一点P作椭圆的两条切线,则点P对切点与焦点的张角相等。

即:∠APF1=∠BPF2

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(13)

过抛物线外一点P作抛物线的两条切线,则点P对切点与焦点的张角相等。(抛物线的另一个焦点在无穷远处,即P与另一个焦点的连线平行于对称轴)

即:∠APF=∠BPF’

高考圆锥曲线大题速解(高考数学圆锥曲线变幻莫测)(14)

本条结论对于高中数学来讲,有些高端,目前未在高考题或模拟中出现过,这里仅未广大教师群体提供知识上的扩展,提升教学能力。列举一道练习题,不在赘述解析。

【例题】过点P(2,0)作抛物线x^2=4y的切线PA(斜率不为0),为焦点,试研究直线PF、PA、PB斜率的关系。

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