立体几何最值问题的五个策略（立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析）

立体几何中的最值问题常以哪些思路进行分析？既然有最值，则就有未知的数值，这种数值若从函数角度分析可能是某条未知的线段，某个未知的角度，若从几何的角度分析，可能是某个点的特定位置，或类似于蚂蚁爬盒子之类的两点之间直线最短，又或者是两条异面直线最短距离的公垂线等等，动态最值问题是立体几何中综合性和难度较强的一类问题，与此类似的是动态定值问题，这个以后再说，常见的题型如下：

1.距离或线段长的最值，例如某年高考真题中的爬盒子问题，或求异面直线之间的距离问题。

2.线段之和的最值，最常于一个定点和两个动点的距离和问题中，将两个不共面的平面展开成一个平面，利用点到直线的距离求即可。

3.体积或面积的最值，一种情况是能确定出动点在哪个位置时满足体积或面积的最值，第二种情况就是常见的设线段，找未知量的关系，建立函数求最值。

解题时一定要注意动点和定点的联系，从而转化为不定线段和确定线段之间的关系，因为有动点，动点不是乱点，会满足特定的几何关系，因此还需掌握立体几何中动点轨迹判定的相关知识。

时间有限，今天先给出几个与线段或线段之和有关的最值问题，与面积或体积有关的最值问题日后再慢慢给出。

先问一个小知识，假如不与平面α垂直且在平面α外的一个三角形在平面α上的投影永远都是一个直角三角形吗？

当然不是，投影可为直角三角形，钝角三角形或锐角三角形，当直角三角形一个直角边为平面α内或一条直角边与平面α平行时，此时的射影依旧为直角三角形；当直角三角形的斜边在平面α内或与平面α平行时，此时的投影为钝角三角形，这两种情况之外有可能会出现锐角三角形，重点需要注意直角三角形在平面内的射影依旧是直角三角形的情况，证明时可先做出对应的射影图形，再在平面α内作出与原直角三角形全等的三角形，比较两个三角形的形状即可，这里不展开了。

题目很容易想到的答案是[0,5],当EF与平面α平行时投影最长，此时投影长度即为EF的长度，当EF与平面α垂直时投影为一个点，此时投影长度为零，但是答案并非如此，当四面体绕着AB旋转时，EF永远不可能与平面α垂直，因此投影也永远不可能是一个点。

若取AC的中点G，可判断出△EFG为直角三角形，且GF//平面α，所以△EFG在平面α上的投影也为直角三角形，且GF//平面α，则GF的投影为定值，长度与GF相等，所以EF在平面α上投影的长度只与EG投影长度有关，当四面体旋转时EF可与平面α垂直，这样根据EG投影长度的最值即可求出EF投影的最值，过程如下：

解读：锥体中的变化量为PD的长度和∠PED的角度，用常规套路确定出球心的位置在EF上，可知在直角三角形PEF中，EF为其中一条直角边，斜边PE的长度确定，设∠PED，根据三角函数即可确定出EF的最大值。

随着P点移动，O点的位置也在EF上移动，根据题目所示，O点在锥体内，则OE<EF,因此可用OE的变动表示出EF的变动，在上图右侧根据余弦值可找到OE和EF长度乘积的定值，稍微放缩一下即可得到EF的最小值，题目的关键是将立体转化为平面三角形，找到其中的变量和定值之间的关系即可。

[注意求O1E的时候不能直接2:1,千万把重心和外心区分开]

解读：之前推送过一篇立体几何中动点的轨迹问题，链接为立体几何中的动点轨迹问题，在本题目中满足MN⊥平面PCE，能初步判断N点的轨迹为平面PCE中的某条线段，这样求AM MN的最小值只需要将两个平面展成同一个平面，利用点到直线的距离即可。

本题目很容易看成是正方体中的一个角，因此通过建立坐标系来解也是一种方法，但是最后AM MN的表达式是一个一次函数加上一个带根式的二次函数的形式，很遗憾没办法求最值，因此题目只能把N点的轨迹找出来。

因为AB⊥PE,AB⊥CE,则AB⊥平面PCE,取CE的中点O，连接OD，则OD⊥平面PCE,连接PO，作MN//DO，则MN⊥平面PCE，这样就找到了N点的轨迹为线段PO，再把平面POD和平面PAD展开即可。

本题目相对简单，四边形由两个全等的三角形组成，在△BFD1中，底边长BD1已知，只需求点F到BD1距离的最小值即可，因为BD1和CC1为异面直线，只需求出两条异面直线之间的距离即可。

之前推送中给出了射影法求异面直线的距离，链接为：射影法求异面直线之间的距离，因为CC1和BD1在底面ABCD的投影分别为点C和线段BD，可知点C到线段BD之间的距离即为两条异面直线之间的距离，题目不难，过程就不再给出了。

解读：本题目的考试意义不大，重点知道怎么把题目中的MN/√2转化为某条线段即可，在所给的条件中若出现一个以MN为斜边的等腰直角三角形，则MN/√2即等价于该等腰直角三角形的直角边，因此找到等腰直角三角形是解题的关键。