真值转换原码方法（信息学奥赛C）

一个数在计算机中的表示形式是二进制，这个数其实就叫机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0， 负数为1。比如，十进制中的数 7 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000111。如果是 -7 ，就是 10000111 。一个存储的二进制码分原码、反码、补码，下面我们就来介绍一下什么是原码、反码、补码。计算机都是用补码存储，在计算的时候，如果是减法，可以把减法看成加法。

一、原码（0表示正数，1表示负数）

x=1100110,则[X]原=01100110

x=-1100111,则[X]原=11100111

无符号位 0~2n-1 00000000~11111111 0~255

有符号位 -2(n-1)-1 ~ 2(n-1)-1 11111111~01111111 -127~ 127

二、反码(正数的反码就是自身，负数的反码除符号位外，其他各位求反)

x=1100110,则[X]反=01100110

x=-1100111,则[X]反=10011000

反码肯定属于有符号位，相当于上面有符号位求反

10000000~01111111 -127~ 127 -2(n-1)-1~2(n-1)-1

三、补码(正数的补码还是自身，负数的补码，符号位不变，其余取反，然后最低为加1)

x=1100110,则[X]补=01100110

x=-1100111,则[X]补=10011001

10000001~01111111 -128~ 127 -2(n-1)~2(n-1)-1

四、为何要使用原码, 反码和补码

我们先来看1和-1对应的原码, 反码和补码，对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[ 1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的，为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位进行加减。 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算,，设计得尽量简单。计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法， 这样计算机运算的设计就更简单了。

我们来看原码的相加减，如下：

计算十进制的表达式： 1-1=0

二进制的表达式：1 - 1 = 1 (-1) = [00000001]原 [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。为了解决原码做减法的问题, 出现了反码，如下所示：

计算十进制的表达式：1-1=0

二进制的表达式：1 - 1 = 1 (-1) = [0000 0001]原 [1000 0001]原= [0000 0001]反 [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现如果用反码计算减法，结果是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上 0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题。

1-1 = 1 (-1) = [0000 0001]原 [1000 0001]原 = [0000 0001]补 [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128，(-1) (-127) = [1000 0001]原 [1111 1111]原 = [1111 1111]补 [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示。

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, 127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127]。

综上所述，因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示的范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

四、科学计数法

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。 [2] 例如：19971400000000=1.99714×10^13。计算器或电脑表达10的幂是一般是用E或e，也就是1.99714E13=19971400000000。