微积分函数图（微积分的发展）

微积分

我们知道数学是人类描述自然规律的语言将现实世界进行抽象，有了数学这个工具就能让我们对物体数量、物体结构、物体的空间、物体的运动等进行抽象量化描述。现今的数学已经发展出很多分支，微积分也属于其中的分支。微积分是微分学和积分学的总称，微分就是无限细分，积分就是无限求和。

原始的数学

最原始的数学是常量的数学，属于静态的数学，更多的是研究关于“数（有理数）”的问题，以至于毕达哥拉斯学派的基本信条就是“万物皆数”。同时还会研究简单的“形”的问题。

解析几何

后来的解析几何将算术、代数、几何三者统一起来，其基本思想是在平面中引入笛卡尔坐标系，数能映射到图形上的某个点，而图形又可以用方程表示。由此进入了动态数学时代，比如可以对物体运动进行研究。

微积分的诞生

可以说微积分创立的直接推动力是现代科技的发展。数学发展到十七世纪时，有些问题仍然没有很好的计算解决工具。比如以下的一些基本问题：

• 求变速运动的瞬时速度，比如行星椭圆轨迹运行时的瞬时速度。
• 求曲线上的某个点的切线，比如望远镜设计时要确定透镜曲面的法线。
• 求函数的最大、最小值，比如计算炮弹的最大射程。

以解析几何作为基础，为微积分的研究创立开辟了道路，它用于研究数、图形、运动以及变化。

变速瞬时速度

变速运动的瞬时速度即取两点，然后将△t

无限趋于0，即能求得曲线每个点的瞬时速度。

切线

与瞬时速度相似，切线就是求导。

最大最小值

关于函数的极值研究人工智能的人应该相当熟悉，优化算法中将损失函数最小化的过程就会涉及。

人工智能与微积分

目前的人工智能更多是基于机器学习，其中很多算法都需要微积分这个工具。相关概念有凸优化、多元函数、偏导、神经网络中反向传播使用的链式法则、用多项式逼近描述高阶导数的泰勒级数、牛顿法、梯度下降法等等。

理论发展

微积分理论由许多科学家和数学家共同努力才得以完善，而牛顿和莱布尼茨被认为是共同发明创立了微积分学。他们分别从不同角度和问题进行描述，牛顿的出发点是力学，而莱布尼茨的出发点是几何。牛顿偏向于不定积分，而莱布尼茨偏向于定积分。莱布尼茨创造的微积分符号更优秀，并沿用至今。

微积分意义

• 促进了数学的发展，解析几何与微积分使得数学从静态数学扩展到动态数学，至此数学能够描述变化、运动。
• 微积分为各个学科提供了广泛有用的研究工具，特别是物理、化学、生物、地理、金融等等。
• 推动人类进程，微积分是人类研究自然规律的基本工具，使人们对事物的认知有了飞跃。揭示了变量与常量、无限与有限的辩证统一关系。