张朝阳的物理课相对论（张朝阳的物理课谈多普勒效应）

太阳对流层的对流速度有多大？疾驰的警车发出警报声，路人和警车上的人，听到的频率竟然不一样？这两个看似无关的问题，是如何联系到一起的？4月3日12时，《张朝阳的物理课》第四十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，带着网友们继续探索关于太阳的各种现象，不仅复习了黑体辐射压强公式、给出了从光子气体统计模型出发的另一视角，而且讲解了太阳对流层的运动规律，并详细介绍了多普勒效应及其应用，最终利用光谱频移数据成功估算了太阳对流层里物质的对流速度。

复习黑体辐射压强公式的推导

直播开始，张朝阳对上一次课程的内容进行了复习。根据流体静平衡方程和理想气体物态方程，平衡所需的压强P和物质理想气体提供的压强分别是：

辐射层的密度和温度都随着半径的增大而下降，平衡所需的压强P正比于密度的一次方，而理想气体压强不仅正比于密度一次方，还正比于温度一次方，因此会比P下降得更快。因此，仅仅考虑气体压强是不够的，还需要考虑辐射层里的光压。

接着，又复习了黑体辐射压强的推导。张朝阳解释，黑体辐射的能量密度是u，我们知道，光不是静止的，某一处的光会朝所有方向以速度c辐射出去，因此单位立体角、单位面积、单位时间内的辐射能量为uc/(4π)。于是，黑体表面上单位面积、单位时间的辐射能量为：

因为黑体表面只能向外辐射，所以立体角的积分范围是半个球面。式子里的cosθ因子，是考虑了光线倾斜时需要在相应方向对面积做投影。根据斯特番-波耳兹曼定律I=σT^4，所以：

随后，直播课开始计算辐射对于黑体表面的压强。与上一节课的思路一样，因为热平衡，黑体吸收多少辐射就会发射出多少辐射，这就等效于辐射照射到黑体表面后全部被反射。对于单个光子，能量为hν ，动量为hν/c ，这两者都是频率依赖的，因此将辐射的能量密度分解成各个频率的叠加：

然后单独考虑每部分频率在单位时间单位黑体表面上由于反射导致的动量变化。这和计算能量通量是类似的。先对特定立体角内的辐射计算其单位时间内射来的光子数，这用能量通量除以单个光子能量就可以得到：

其中的cosθ是因为倾斜方向需对面积做投影。每个光子由于反射，沿黑体表面法向的动量会改变2cosθhν/c，于是单位面积单位时间的动量改变量为：

根据牛顿力学，单位时间的动量改变量等于力，又因为这是单位面积上的力，所以这就是压强。对频率和半球的立体角积分就得到总压强。其中对u_ν进行频率积分会得到u，于是总压强为：

这就是上一次课程中得到的黑体辐射压强公式。

另一视角、更高观点：光子气体的热统模型

带着网友们复习过后，张朝阳介绍了另一种对黑体辐射压强公式的理解方式。从单原子理想气体入手，建立笛卡尔三维空间坐标系，考虑气体分子朝x轴对y-z面的碰撞，碰撞导致的压强为：

其中N_vx和n_vx分别是具有v_x速度分量的粒子总数和数密度，V为体积。考虑到体系的各向同性，x方向速度平方的均值应与y方向的和z方向的均值相同，于是：

其中的u_tr上加一横表示分子动能平均值。

而这里我们要研究的是光子气体，与理想气体模型类似，却又有所不同。光子的速度是光速c，能量是mc^2，相应的u=n<mc^2>，于是光子气体相应的压强为：

这和前面用严格方法推导得到的结果一致。

太阳里的多普勒效应：铁原子跟随对流动，吸收谱偏移测速度

接着，张朝阳回到太阳结构的主题上。他先介绍了辐射层的物理性质。在辐射层，温度随半径增加而缓慢变化，导致温度的梯度不大；但物质的密度会相对减小得很快，这就导致密度梯度很大。因此，在辐射层，离太阳中心比较远的物质不会下沉，离太阳中心近的物质不会上浮，从而辐射层是比较静态的。

而在对流层里，温度梯度很大，导致对流层表面的物质密度比对流层底部的物质密度大，这就使得表面物质下沉到底部而被加热，底部物质上浮到表面而被冷却，如此往复形成对流。

如何测量对流层的对流速度呢？张朝阳在课上利用多普勒效应进行了推导。为了进一步解释，他展示了一篇关于利用多普勒效应测量太阳对流层对流速度的论文里的图片（注：论文编号为“arXiv:1712.07059”）。该图片显示了太阳的光谱（图中红色线），其中光谱的凹处对应着太阳元素的吸收。

(张朝阳展示的论文截图)

可以看到，铁元素的其中一个吸收位置，在6300埃附近(1埃=10^(-10)m)。如果对流层中的铁元素上下移动，就会导致光谱的位置发生移动，这是多普勒效应的结果。

为了进一步说明，张朝阳在直播中讲解了多普勒效应。他以声波举例，“当声源向着我们走来时，听到的声音频率将会增加；当声源远离我们运动，听到的声音频率会降低。比如说，我们在铁路旁边，当火车迎面驶来时，会感觉火车发出的声音比较尖，当火车驶过之后，就会感觉到火车的音调一下子降低了，这就是多普勒效应。”

(张朝阳推导光的多普勒频移公式)

假设人站在地面，距离为S的声源以速度u远离此人(当u<0相当于向人靠近)。在0时刻，声源开始发出声音，那么人听到声音的时刻为T1=S/v，其中v是声速。声源发出一个完整的波用时为周期T，此时声源已远离uT距离，那么人听完整个波长的时刻是T2=T (uT S)/v。(T2-T1)是人接收到的声波周期，它等于：

频率等于周期的倒数，于是：

其中下标d表示考虑多普勒效应后的频率。假如这个波不是声波而是光波，还必须考虑相对论效应，此时前面式子中的T就不是光波周期。因为存在时间膨胀效应，这个T应为γT0，其中T0是光源上发射一整个周期的固有时，也就是光波原来的周期。相应的，上述结果应该修改为：

同时，考虑到u小于c的情况，对频率的式子做变量为u/c的泰勒展开，保留u/c的一次项得到：

此外，考虑波长的变化。因为波长乘以频率等于光速，光速是个常数，所以：

于是：

这个式子可用于求太阳对流层的对流速度。

当对流层的铁原子随着对流运动时，把铁原子看成光的接收者，在铁原子的参考系上，太阳光源是运动的，从而导致铁原子接收到一个偏移了的光谱，吸收了偏移光谱上特定频率的光。在地球观测者看来，在光谱线上，铁原子的吸收位置偏移了。

张朝阳在直播中展示了前面提到的论文(注：论文编号为“arXiv:1712.07059”），论文给出了测量数据，吸收位置偏移量约为6毫埃，代入前述公式即可得到对流速度：

这与论文里的结果一致。

(张朝阳计算太阳对流层的对流速度)

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