锥体体积与圆锥体积区别（为什么锥体体积系数是1）

学了高中立体几何，我们都知道锥体的体积是1/3sh。有人可能不禁要问为什么系数是1/3，为什么不是1/2或1/4？今天我们就来说说这个问题。

首先我们知道体积是表示立体图形占据立体“空间”的多少，就像下面三个几何体包含“小正方体”的多少一样：

这样我们就能理解长方体的体积为什么是长×宽×高（相当于是计算长方体中包含的单位“小正方体”的数目），从而平直规整的柱体的体积也能理解了。

对于不规则的柱体，像下面这种：

这种柱体的体积又怎么计算呢？

对于这样的柱体可以通过祖暅原理来理解：

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.

如下图：完全相同且数目一样的两堆书叠成两摞，一摞竖直叠，一摞斜着叠，（分别对应一个直棱柱和一个斜棱柱）用平行于底面的截面截这两个棱柱，截得的截面面积是处处相等的，而它们的体积显然是相等的，这是祖暅原理的直观体现。

由祖暅原理知底面积相等的如下三个柱体的体积都相等：

不过锥体（棱锥、圆锥及不规则锥体）的体积，却不能直接按上述方法定义。我们可以回想小学时推导三角形的面积公式：两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，从而三角形的面积是：

我们可以效仿这种思维，如下图：

三棱柱ABC-A'B'C'的底面积(即△ABC的面积)为s,高(即点A'到平面ABC的距离)为h.则它的体积为sh.沿平面A'BC和平面A'B'C,将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1,2的底面积相等(S△A'AB=S△A'B'B),高也相等(点C到平面ABB'A'的距离)；三棱锥2,3也有相等的底面积(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高(点A'到平面BCC'B'的距离)。因此,这三个三棱锥的体积相等，每个三锥的体积是1/3sh.

那四棱锥，五棱锥……以至于不规则锥体的体积又怎么计算呢？我们并不能直观地对所有棱锥用“分割转化”的方法求得体积。可以这样考虑，因为棱锥是一个3维空间的实体，从“等底等高”的柱体到锥体，可以看作是在维度上收缩了1/3，因此要乘以1/3。之所以说收缩了1/3，是由于这是从一个原始的面，到线，到点，跨越了三个维度。

这样的解释还不够清楚，更严格的论证需要用到积分原理（关于积分可以参见前面的文章——怎样理解定积分）。首先我们知道从点、线、面、体的逐级跨越中，逐渐有了长度、面积、体积的度量的逐级升级（点的度量为零）。

先看两个例子：

圆的面积公式对半径求导:

居然得到了圆的周长公式!

圆的周长公式对半径积分：

居然得到了圆的面积公式!

这里其实包含有定积分“微元法”的原理，圆的面积的“微元”是圆的周长，如图:

圆的面积其实就是把圆的面积微元（圆周长）按半径积分（0为积分下限，半径长为积分上限）的结果。

再比如三角形的面积s=1/2ah ,是将三角形取“面积微元”，如平行于底做一系列平行线，得到面积的“微元”——比例线段。再将微元函数（比例线段长），按高h积分（0位积分下限，h为积分上限）得到三角形的面积：

为了计算，我们先要建立一个积分变量的x轴，原点为O,正方向竖直朝下，考虑过轴上任意一点x处的平行线（微元分割线），其长度为f(x)

由相似可知：

所以

这里f(x)(即比例线段长)就是三角形面积的微元函数，将f(x)按高h积分便得到三角形的面积：

类比面积，我们可以用积分来求体积，比如正方体的体积

将正方体取“体积微元”，如分成无数个平行于底面的平行“切片”，切片的面积为 f(x)(即体积的微元函数)，这里的f(x)是常数函数，f(x)= a²,将f(x)按高a积分就得到正方体的体积：

现在回到正题，为什么锥体体积系数是1/3？

对如下任意锥体：

我们以顶点O为原点,建立积分变量的x轴(正方向竖直朝下):

取“体积微元”（平行于底面的平行“切片”），切片的面积为f(x)(即体积的微元函数)，设底面积为s,高为h.因为底面积与截面面积是相似的，由两个相似图形的面积比等于相似比的平方知:

则

将f(x)按高h积分得到锥体的体积：

这里的系数1/3，本质上是因为

由“微积分基本定理”（“牛顿—莱布尼茨公式”）知：

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且

那么有

这里

可简记为

显而易见x²的原函数为1/3x³ ,所以锥体的体积便有了系数1/3。

到这里你明白为什么锥体（棱锥、圆锥及不规则锥体）体积系数是1/3了吗？

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