混合运算先乘除后加减（为什么混合运算要先乘除后加减）

在混合运算中,关于运算次序有两个基本法则:有括号,先计算括号中的算式;没有括号,先乘除后加减。

比如,可以用下面的两个例子来表示:(3 2)x4=5x4=20;3 2x4=3 8=11.显然,这两个基本法则是一种规定。可是,为什么要有这样的规定呢?这样的规定合理吧,如果这样的规定是合理的,那么合理性表现在哪里呢?为了说明它的合理性,就必须回到现世界,我们已经反复说过,小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的。

第一个算式是什么意思呢?思考下面的具有实际背景的问题:操场上有4排同学,每排有3名女同学2名男同学,问操场上有多少名同学?对于这个问题,如果分步计算,显然应当先计算每排有多少同学,然后再计算4排一共有多少同学。

因此,计算的道理是:同学总数=每排同学数x排数=(3 2)x4可以看到,上面括号中表达的是一个故事:每排的同学数。 这个故事是整体算式中的一个独立部分,因此,先算括号中的算式是有道理的。

可是,这个例子是具体的,因而是特殊的,这个特例所蕴含的运算次序的一般道理是什么呢?

我们接下来分析第二个算式,然后归纳出一般道理。如果把乘法理解为加法的简便运算,第二个算式可以表示为3 2x4=3 4 4=3 8=11。用这样的方法来解释先乘除后加减是可以的,但是,这样的解释仅仅关注了计算方法,因此,这样的解释与上面的例子就没有共同点,就无法抽象出共性。

为了把问题分析清楚,我们还是思考一个具有实际背景的问题:操场上原来有3名同学,又来了一些同学,这些同学每排有2名同学,共有4排,问现在操场上有多少名同学?

显然,这个问题中包含了两个故事:一是原来的同学数;二是后来的同学数。类似第一个算式,可以写出计算这个问题的道理:同学总数=原来的同学数 后来的同学数=3 2x4因此,先计算乘法是为了完成一个故事:后来的同学数。现在问题已经很清楚了:所有的混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。

在混合运算中,可能是大故事包含小故事,也可能是几个故事并列。在原本的意义上,这些故事应当分别计算,即先计算每一个具体的故事,然后再计算整体的故事,统观数学史,早期的数学都是这样计算的。

如果希望用一个式子表达这样的计算,就形成了混合运算:用括号表示大故事所包含的小故事,用加号表示并列的故事。

这样,为了保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致,就必须建立起前面提到的那两个基本法则。

(选自史宁中主编《基本概念与运算法则一小学数学教学中的核心问题》,北京:高等教育出版社,2013。)