函数的零点和间断点有什么关系（理解传递函数中的极点和零点）

本文解释了什么是极点和零点，并讨论了传递函数极点和零点与模拟滤波器电路的幅度和相位特性相关的方式。

在上一篇文章中，我提出了两种标准方法来为一阶RC低通滤波器制定s域传递函数。让我们简要回顾一些基本概念。

a、传递函数在数学上表示滤波器的频域输入到输出的行为。

b、我们可以用变量s来表示传递函数，它代表复数频率，当需要计算特定频率的幅度和相位响应时，我们可以用jω代替s。

c、传递函数的标准化形式就像一个模板，可以帮助我们快速确定滤波器的定义特征。

d、对标准化一阶传递函数的数学处理使我们能够证明滤波器的截止频率是幅度减小3dB并且相位偏移-45°的频率。

假设我们有一个传递函数，其中变量s出现在分子和分母中。在这种情况下，s的至少一个值将使传递函数的分子为零，并且至少一个s值将使传递函数的分母为零。使分子为零的值是传递函数的零点（Zeros），并且使分母为零的值是传递函数的极点（Poles）。

让我们考虑以下示例：

在这个系统中，我们在s = 0处有一个零点（Zero），在s =-ωO处有一个极点（Pole）。

极点和零点定义了滤波器的特征。 如果您知道极点和零点的位置，则可以获得有关系统如何响应不同输入频率的信号的大量信息。

波特图（Bode plot）提供了极点或零点与系统输入 - 输出行为之间关系的直观可视化图形。

幅度影响

极点（Pole）频率对应于拐角频率（corner frequency ），在该拐角频率（corner frequency ）处，幅度曲线的斜率减小20dB /十倍频程，并且零点（Zero）对应于斜率增加20dB /十倍频程的拐角频率。 在下面的示例中，波特图（Bode plot）是系统的幅度响应的近似值，该系统的极点为10^2弧度/秒（rad / s），零点为10^4 rad / s。

相位影响

在上一篇文章中，我们看到低通滤波器的相位响应的数学原点是反正切函数。如果我们使用反正切函数（更具体地，负反正切函数）来生成相位（以度为单位）与对数频率的关系图，我们最终得到以下形状：

由极点产生的相移的波特图（Bode plot）近似是表示相移的-90°的直线。该线以极点频率为中心，并且具有-45度每十倍频程的斜率，这意味着向下倾斜的线在极点频率之前十倍开始并且在极点频率之后十倍结束。除了线具有正斜率之外，一个零点的影响是相同的，使得总相移是 90°。

以下示例表示一个系统，其极点为10^2 rad / s，零点为10^5 rad / s。

隐藏的零点

如果您已阅读上一篇文章，您就会知道低通滤波器的传递函数可以写成如下：

这个系统有零点吗？如果我们应用本文前面给出的定义，我们将得出结论，它没有零点 - 变量s没有出现在分子中，因此s的值不会导致分子等于零。

然而事实证明，它确实有一个零点，为了理解为什么，我们需要考虑传递函数极点和零点的更一般化的定义：零点（z）出现在导致传递函数的s值处减少到零，极点（p）出现在s的值，导致传递函数趋向于无穷大：

一阶低通滤波器的值是否为导致T（s）→0的s？是的，确实如此，即s =∞。因此，一阶低通系统在ωO处具有极点，在ω=∞处具有零点。

我将尝试在ω=∞处提供零的物理解释：它表示滤波器不能继续“永久”衰减（其中“永远”指的是频率，而不是时间）。如果您设法创建一个输入信号，其频率继续增加直到“达到”无穷大的rad / s处，则s =∞时的零点会使滤波器停止衰减，即幅度响应的斜率从-20 dB /十倍频程增加到0 dB /十倍频程。

我们已经探索了传递函数极点和零点的基本理论和实践方面，并且我们已经看到我们可以在滤波器的极点和零频率及其幅度和相位响应之间建立直接关系。而在前面的两篇文章中，我们研究了一阶高通滤波器和一阶高通滤波器的传递函数，敬请关注！