中考数学有关圆的解题方法（中考圆的轨迹问题）

动点轨迹问题、最值问题历来是中考的难点和热点。学生需要在考场短时间思考出动点的运动轨迹确实不是一件容易的事情，如果平时不能有对图形本质的理解和把握，很难在考试中解决此类问题。

在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，一个是圆弧，一个是线段。它们分别对应不同的知识点。圆弧上的点到定点的距离等于定长，线段上的点到直线的距离也等于定长。但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。而需要我们结合题目中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理方法又是什么呢？

轨迹知识

首先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平面内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。我们在理解这个定义时，可从下列几个方面考虑：(1)符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。

初中阶段会接触到的曲轨迹一般是圆或者圆弧，比如旋转问题中；当然动点也可能在双曲线或者抛物线上运动，这都属于曲轨迹。

经典考题

类型1 圆的问题中隐含圆的轨迹问题

1．如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（　　）

A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3√3 D．r＝3√2

【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣1/2（∠HOP ∠OPH）＝135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠DO′O＝90°，O′O＝3√2．故选：D．

2．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（　　）

A．2﹣√3 B．√3﹣1 C．2 D．√3 1

【解析】利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，

3．如图，在△ABC中，AC＝4√3，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为________．

【解析】：如图，连接CE．

∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，

∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，

4．（2020•武汉模拟）如图，⊙O的半径为1，点D为优弧AB上一动点，AC⊥AB交直线BD于C，且∠B＝30°，当△ACD的面积最大时，∠BAD的度数为_______．

【解析】连接OA、OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠B＝60°，则△OAD为等边三角形，所以AD＝OA＝1，而∠C＝60°，利用圆周角定理可判断点C在AD为弦，圆周角为60°的弧上运动，根据三角形面积公式，当C在弧AD的中点时△ADC的面积最大，此时∠CAD＝60°，从而得到∠BAD＝30°．

类型2 非圆问题中隐含圆的轨迹问题

5．（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH CH的最小值为_______．

【解析】：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G。由两点之间线段最短，此时C′B的值最小

则GH CH的最小值＝50﹣5＝45，

故答案为：45．

6．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB＝6，则PC的最大值为______．

【解析】首先证明△ACE≌△DCB，再证明PC平分∠APB，且∠APB＝120°，作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于点Q，

∵∠APB＝120°是定值，∠APQ＝∠BPQ＝60°，

∴QA＝QB，点Q是定点，∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，

此时PA＝PB，AC＝BC，PC＝AC•tan30°＝3×√3/3＝√3．

故答案为√3．

7．如图，在三角形ABC中，AC＝3，BC＝4√2，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连接BP，D为线段BP上一点，且∠CDP＝∠CAP，F为AC上一点，则FD BF的最小值为______．

【解析】：如图，作线段BC的垂直平分线，垂足为Q，在线段BC的垂直平分线上取一点O，使得OQ＝BQ＝CQ，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交直线OQ于E，连接EB，EC，OC，OB．

∵∠BEC＝1/2∠BOC＝45°，

∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴∠PDC＝45°，

∵AM∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝45°，∴∠PDC＝∠PAC，

∴点D在弧BC上运动，作点B关于AC的对称点B′，连接CB′，OB′，FB，作B′H⊥OQ于H．

∵FB DF＝FB′ DF．

∴当D，F，B′共线时，BF DF的最小值为线段DB′的长，

8．（2019秋•清江浦区期末）（1）【学习心得】

于彤同学在学习完"圆"这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝______°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

【解析】：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

∴∠BDC＝1/2∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

易证△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，

易证△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∵∠BAH ∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1 ∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

方法总结

圆的轨迹问题常涉及到三个知识点

1、动点到定点的距离为定值

2、对角互补的四边形四点共圆

3、定线段所对动角为定值（常考：直径所对圆周角为90°）

题目中一般没用明确给出（隐形圆）：即动点所在的路径题目中并没有明确交代，需要同学们有先自我判断的意识，既然点在运动，那么其必然在某条确定的轨迹上运动，不管题目有没有交代。这类题目比较难，常见的有（定边定角 类型、定高定角类型、折叠最值问题，双定边手拉手问题等与辅助圆有关的模型）。

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